Теоретичні відомості. Коливальний контур (LС – контур) складається з послідовно з'єднаних індуктивності L і ємності С, і називається також електричним осцилятором (рис

Коливальний контур (LС – контур) складається з послідовно з'єднаних індуктивності L і ємності С, і називається також електричним осцилятором (рис. 1).

При вивченні коливань у контурі завжди розглядають зміну тільки однієї з величин – сили струму в контурі, падіння напруги на активному опорі, заряду на обкладках конденсатора або різниці потенціалів між його обкладками.

Рис. 1.

Згадаємо, як виникають коливання в контурі при активному опорі R = 0 (рис. 2). Для збудження коливань попередньо заряджають конденсатор ємністю С зарядом Q₀ (рис. 2, а) і в початковий момент часу t = 0 вся енергія контуру зосереджена в електричному полі конденсатора. Струм I в контурі відсутній.

Замкнемо перемикач К (рис. 2, б); через котушку індуктивністю L потече струм I, що буде зростати з часом. Якщо струм І зростає (рис. 3), то збільшується B -вектор магнітної індукції магнітного поля, яке з'являється в котушці. Напрям В зображено на рисунку товстими суцільними стрілками. Відповідно до закону Фарадея у витках котушки індукується електричне поле при зміні магнітного поля. Напрям електричного поля зображено тонкими штриховими стрілками.

Електрорушійна сила (ЕРС) самоіндукції

(1)

Оскільки за правилом Ленца ЕРС ε_s напрямлена в бік, протилежний зростаючому струму I, то він зростає до максимального значення повільно. При цьому зменшується заряд на конденсаторі. Отже, зменшується електрична енергія поля конденсатора, перетворюючись в енергію магнітного поля котушки індуктивності.

В момент часу (Т - період коливань заряду) W_е=0, Q=0, енергія магнітного поля максимальна.

а) t=0 б) t=T/4 в) t=T/2 г) t=3T/4

+ + - -

L - - C C + + C

L L L C

I

Рис. 2.

1) 2) 3) 4)

Струм у контурі починає спадати, тому що відбувається зарядка конденсатора, зменшується енергія магнітного поля , зі зменшенням В з’являється ЕРС:

У цьому випадку ε_s напрямлена в бік спадаючого струму. Згідно з правилом Ленца індукційний струм напрямлений у той самий бік, що й струм зарядки конденсатора. До закінчення часу на обкладках

конденсатора накопичується максимальний заряд, що спричинює появу максимального електричного поля.

Струм у колі дорівнює нулеві (див. рис. 2, в).

Рис. 3.

Далі ті самі процеси почнуть протікати у протилежному напрямі (рис. 2, г) і система до моменту часу повернеться до початкового стану.

За другим правилом Кірхгофа сума падінь напруги у замкнутому контурі дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС у контурі. При відсутності активного опору в контурі, тобто при R= 0, всі падіння напруги відбуваються на ємності:

(2)

Отже,

Враховуючи, що і , маємо ,

або

. (3)

Введемо позначання

. (4)

Тоді

. (5)

Де ω₀ – циклічна частота власних коливань контура.

Вираз (5) – диференціальне рівняння власних коливань лінійного гармонічного осцилятора, у даному випадку LC — контура.

Якщо розглядати дійсний контур, що крім L і С, має резистор (як резистор може бути опір індуктивності), то разом з падінням напруги на ємності

спостерігатиметься падіння напруги і на резисторі і тому другий закон Кірхгофа запишемо так:

,

, (6)

,

. (7)

Введемо позначення (4) і

. (8)

Дістанемо

, (9)

де δ – коефіцієнт затухання.

Вираз (9) – лінійне диференціальне рівняння другого порядку, тобто диференціальне рівняння затухаючого гармонічного осцилятора (LС -контура) з розв'язком

(10)

за умови, що

(втрати енергії в системі малі),

де Q - заряд на конденсаторі у визначений момент часу t; Q₀ - амплітуда заряду при t = 0; е - основа натуральних логарифмів; ω - циклічна частота затухаючого гармонічного осцилятора,

(11)

За законом (10) змінюється й напруга на конденсаторі:

(12)

де – амплітуда наруги при t =0; - амплітуда напруги при t ≠ 0.

Отже, якщо збуджувати контур - заряджати ємність то за умови в ньому виникнуть коливання заряду, які затухатимуть (рис.4).

Рис. 4.

Закон зміни амплітуди з часом (штрихова лінія)

(13)

Одна з головних характеристик електричного затухаючого осцилятора - логарифмічний декремент затухання Ө, який визначається як натуральний логарифм відношення двох амплітуд, (Рис.4) віддалених одна від одної на період Т_з:

. (14)

Друга характеристика – період затухання

. (15)

Час, протягом якого амплітуда зменшується в е разів, називається часом релаксації τ:

, (16)

де або .

Важлива особливість електричного осцилятора - добротність Q_доб яка дорівнює добутку числа коливань N_е, що відбуваються за час, протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів, і числа π:

. (17)

Характеристики (14), (16) і (17) взаємопов'язані:

і залежать від параметрів електричного осцилятора:

(18)

При (19)

(20)

При

(21)

(22)

При

(23)

При втрати енергії в системі великі через великий опір R₁ контура. У цьому разі в (10) перший член не має суттєвого значення і розв'язок описує аперіодичний режим руху заряду - коливання не відбуваються (рис. 5).

Рис. 5.

Опір, при перевищенні якого в системі немає коливань, називається критичним. Його знаходять за умови (див. (4) і (8):

(24)

Потреби практики диктують необхідність мати тривалі незатухаючі коливання у контурі. Коливальний процес стане не затухаючим, якщо на контор діятиме зовнішня сила, що періодично змінюється. Такі коливання називають вимушеними. Вимушені коливання в електричному контурі можна дістати, якщо в нього ввімкнути генератор сигналів, наприклад, звуковий генератор ЗГ.

Диференціальне рівняння вимушених коливань у контурі дістають з рівняння затухаючих коливань (7), якщо в нього додати періодичну ЕРС

( – циклічна частота періодичної ЕРС):

,

,

,

,

, (25)

де – амплітудне значення напруги в коливальному контурі.

Розв'язок (25):

, (26)

де Q₀ - амплітуда заряду на конденсаторі.

Напруга на обкладках конденсатора змінюється за законом

,

де U₀ - амплітуда напруги на конденсаторі,

, (27)

a зсув фаз між коливаннями змушуючої сили (коливаннями напруги на виході звукового генератора) і коливаннями напруги на конденсаторі

. (28)

У разі вимушених коливань - величина відставання за фазою вимушеного коливання заряду (26) від спричиняючої його змушуючої періодичної ЕРС.

Залежність амплітуди вимушених коливань від змушуючої сили можна дослідити на максимум і переконатися, що максимальна при результуючій частоті періодичної ЕРС

. (29)

Ця частота називається резонансною, а саме явища зростання амплітуди при наближенні до резонансної частоти або кратної їй – резонансом. Фаза вимушених коливань при збігається з фазою змушуючого впливу; в околі резонансу при різниця фаз наближається до , а при – до тобто фаза коливань майже протилежна фазі змушуючої сили.

Амплітудні криві для трьох різних значень втрат в системі:

зображено на рис. 6.

У техніці добротність осцилюючої системи визначає відносну гостроту резонансного піку, оскільки обернено пропорційна коефіцієнту затухання (16).

Опис установки

Коливання в електричному контурі мають велику частоту, тому для їх спостереження і дослідження використовують електронний осцилограф - прилад для спостереження функціонального зв'язку між двома або більше величинами (електричними або перетвореними в електричні), що характеризують певний процес.

Сигнал параметра і функції подають на перпендикулярні одна відносно одної пари пластин 6, 7 електронно-променевої трубки (рис. 7) і спостерігають, вимірюють і фотографують графічне зображення залежності на екрані 8 трубки. Графічне зображення, або осцилограма, на екрані трубки, вкритої люмінофором, створюється пучком електронів, які фокусуються і відхиляються або електричним, або магнітним полями. У першому випадку кажуть про електроннопроменеві трубки з електричним керуванням, у другому - з електромагнітним.

Рис. 6.

Сигнал параметра і функції подають на перпендикулярні одна відносно одної пари пластин 6, 7 електронно-променевої трубки (рис. 7) і спостерігають, вимірюють і фотографують графічне зображення залежності на екрані 8 трубки. Графічне зображення, або осцилограма, на екрані трубки, вкритої люмінофором, створюється пучком електронів, які фокусуються і відхиляються або електричним, або магнітним полями. У першому випадку кажуть про електроннопроменеві трубки з електричним керуванням, у другому - з електромагнітним.

Розглянемо принцип дії електронно-променевої трубки з електростатичним керуванням. Трубка складається зі скляного балона високого вакууму, в якому розміщені підігрівач (нитка розжарення) 1, емітер електронів (катод) 2, система фокусуючих і прискорюючих анодів 3 - 5, горизонтально 6 і вертикально 7 відхиляючі пластини.

Передня частина скляного балона (екран 8) з внутрішнього боку вкрита речовиною, що випромінює світло (флюоресценція) під дією електронів. Підігрівач, катод і керуючий електрод, обидва анода утворюють так звану електронну гармату.

Як джерело електронів використовується підігрітий катод трубки. Інтенсивність електронного пучка і яскравість світлової плями на екрані регулюються зміною від'ємного зміщення на керуючому електроді, що виконує таку саму функцію, як і сітка електронної лампи.

Керуючий електрод і система анодів утворюють фокусуючу систему. На рис. 7 штриховою лінією вказана траєкторія електронів, а суцільними тонкими лініями - еквіпотенціальні поверхні електричного поля, що утворюються при подачі додатної напруги на аноди трубки. Потенціал першого анода беруть звичайно в кілька разів меншим від потенціалу другого анода. Різниця потенціалів "другий анод - катод" може бути кілька кіловольт.

Рис. 7.

Дія відхиляючих пластин пов'язана з добре відомою взаємодією електричного поля і зарядженої частини, що рухається. Для дослідження напруг, що змінюються в часі, застосовуються обидві пари відхиляючих пластин. На вертикально відхиляючі пластини звичайно подається досліджувана напруга, що змінюється пропорційно часу, - так звана напруга розгортки.

Для дослідження повторюваних процесів на горизонтально відхиляючі пластини додають періодичну напругу, яка змінюється так, що промінь зміщується зліва направо пропорційно часу, а коли він доходить до правого краю екрану, то швидко повертається на лівий кінець екрана, після чого процес повторюється. Така напруга називається пилкоподібною. При вимкненій розгортці промінь перебував у центрі екрану. Для вироблення пилкоподібної напруги осцилограф мав спеціальний генератор розгортки.

Для спостереження періодичних і особливо швидкоплинних процесів дуже важливо діставати нерухоме зображення на екрані. Для цього необхідно, щоб період розгортки був кратний періоду досліджуваного коливання. Але досить точного співвідношення періодів додержати дуже важко через нестабільності генератора розгортки або досліджуваного коливання. Тому для примусового погодження періодів застосовують синхронізацію, тобто вибирають схему, при якій досліджувана напруга "нав'язує" свій період генератору розгортки. Якщо при цьому період власних коливань генератора розгортки майже дорівнює (майже кратний) періоду коливань досліджуваної напруга, то коливання генератора синхронізуються і проходять у такт з досліджуваною напругою.

Чутливість електронно - променевих трубок незначна: для відхилення променя потрібно десятки або навіть сотні вольтів. Тому при дослідженні малих напруг сигнал попередньо підсилюється підсилювачем, вмонтованим в осцилограф. Блок-схему електронного осцилографа зображено на рис. 8.

Органи керування осцилографом зв'язані з ручками потенціометрів і розміщені на передній панелі приладу у вигляді ручок, якими можна керувати електронним променем (яскравість, фокус, установка по горизонталі й вертикалі), генератором і підсилювачем розгортки (частота розгортки, підсилення ), підсилювачем досліджуваної напруги (підсилення ) і блоком синхронізації (синхронізація).

Для зручності складання схеми установки (рис. 9) всі основні вузли відімкнуті до магазину резисторів М (рис. 10).

Рис. 8.

Рис. 9
.

Перемикачем можна змінювати ємність, що під'єднана до схеми. (табл. 1).

Таблиця 1

Положення перемикача 3		І
Ємність, мкф	0,38	0,41	0,81	1,02	І,6	2,42	6,25

Перемикачами 4-6 вмикають в схему резистори з опорами 0,1,......100 Ом.

Рис. 10.

Для вивчення затухаючих коливань до магазину М під'єднують: до клем 1, 3 - змінну напругу 1…2 В; до клем 3, 4 - індуктивність і осцилограф. Для вивчення вимушених коливань складають схему, зображену на рис. 11.

Рис. 11.

Як джерело змушуючої ЕРС до клем 2, 3 під'єднують звуковий генератор, а змінну напругу І...2 В відмикають.