Лабораторна робота № 4. 2

ПРУЖНИЙ І НЕПРУЖНИЙ УДАРи КУЛЬ

МЕТА РОБОТИ Визначити коефіцієнти пропорційності в законах збереження імпульсу і механічної енергії при пружному і непружному спів­ударяннях куль і порівняти їх експериментальні значення з тео­ретичними.

ОБЛАДНАННЯ - Дві кулі.

10.1 Основні положення

Ударом називається зіткнення тіл, при якому за дуже коро­ткий проміжок часу відбувається значна зміна швидкостей тіл.

Під час удару тіла зазнають деформації. Кінетична енергія відносного руху тіл. що співударяються. па короткий час пере­творюється в енергію пружної деформації. При ньому має місце перерозподіл енергії між тілами, що співударяються.

Якщо після зіткнення в обох взаємодіючих тілах не зали­шається ніяких деформацій і уся кінетична енергія, яку вони ма­ли до удару, знову перетворюється в їх кінетичну енергію, то та­ке зіткнення називається абсолютно пружним ударом.

Якщо в результаті зіткнення двох тіл деформація не зникає й обидва тіла, об'єднуючись, рухаються далі як єдине тіло, то таке зіткнення називається абсолютно непружним ударом.

Пряма, що проходить через точку дотику тіл і нормальна до їхніх поверхонь, називається лінією удару. Якщо лінія удару проходить через центри мас обох тіл, то удар називається центральним.

Удар називається прямим, якщо швидкості взаємодіючих тіл паралельні лінії удару.

Прикладом прямого центрального удару може бути зітк­нення двох підвішених па нитках куль у момент проходження ними положення рівноваги.

При абсолютно пружному й абсолютно непружному ударах ви­копуються закони збереження імпульсу й енергії.

Взагалі законами збереження є фундаментальні закони, згідно з якими за певних умов деякі фізичні величини не зміню­ються з часом, тобто зберігаються.

Закон збереження і перетворення енергії - загальний закон природи, згідно з яким енергія будь-якої замкнутої системи при всіх процесах, що відбуваються в системі, не змінюється з часом (залишається сталою, зберігається). При цьому енергія може тільки перетворюватися з однієї форми в іншу та перерозпо­ділятися між частинами системи.

Закон збереження імпульсу є закон механіки, згідно з яким сумарний імпульс всіх тіл в будь-якій замкнутій системі при всіх процесах, що відбуваються в системі, не змінюється з часом (залишається сталим, зберігається). Імпульс може перерозподі­лятися між частинами системи в результаті їхньої взаємодії. Запишемо їх для випадку прямого центрального удару під­вішених двох куль.

Закон збереження імпульсу:

а) для абсолютно пружного удару

,

або в проекції на вісь ОХ, що збігається з лінією удару,

, (10.1)

б) для абсолютно непружного удару

. (10.2)

Закон збереження енергії:

а) для абсолютно пружного удару

, (10.3)

б) для абсолютно не пружного удару

, (10.4)

де ΔW величина механічної енергії куль, що перейшла в їхню внутрішню енергію. У випадку, якщо одна із куль (наприклад, із масою m₂) перед зіткненням знаходилася в спокої, то вирази (10.1), (10.2), (10.3) і (10.4) набудуть вигляду:

, (10.5)

, (10.6)

, (10.7)

. (10.8)

Проте досвід показує, що відносна швидкість тіл після удару не досягає свого колишнього значення. Це пояснюється тим, що немає ідеально пружних тіл і ідеально гладких повер­хонь. Крім того, системи реальних тіл не бувають абсолютно замкнутими.

У застосуванні до реальних тіл рівняння (10.5), (10.6), (10.7) і (10.8) можуть бути записані тільки з відповідними коефіцієнтами про­порційності:

, (10.9)

, (10.10)

, (10.11)

. (10.12)

Індекси при коефіцієнтах К означають: іпр - для імпульсу при пружному ударі; інепр - для імпульсу при непружному ударі; епр - для енергії при пружному ударі; енепр - для енергії при непружному ударі.

Оцінимо величину введених коефіцієнтів К для випадку, що реалізується в нашому лабораторному пристрої.

Система застосовуваних куль слабо взаємодіє з навколиш­німи тілами (через повітря, нитку підвісу і т. п.), тому "втрати" імпульсу й енергії при пружному ударі будуть незначними і ко­ефіцієнти К_іпр, К_інепр, К_епр повинні бути трохи меншими одини­ці. При непружному ударі у внутрішню енергію переходить зна­чна частина початкової кінетичної енергії і коефіцієнт К_енепр по­винен значно відрізнятися від 1. (Легко показати, що при m₁ = m₂ ідеальний кое­фіцієнт К_енепр= 0..5. Для цього потрібно розв'яза­ти спільно рівняння (10.10) і (10.12), враховуючи, що К_інепр=1). Довівши експери­ментально, що К_іпр, К_інепр, К_епр трохи менші за 1, а значення К_енепр значно відрізняється від 1, ми тим самим підтвердимо справедливість рівностей (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) (у межах похибок виміру), а отже підтверди­мо і закони збереження імпульсу й енергії при співударянні реа­льних тіл.

Зведемо вирази (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) до вигляду, зручному для обчислення коефіцієнтів К. Розглянемо рис.10.1, куля масою m₂ знаходиться в стані спокою, а масою m₁ - відведена від по­ложення рівноваги на кут α₁ (умовимося позначати кути до вза­ємодії куль через α, а після взаємодії - через β; індекси: 1 для першої кулі, 2 - для другої).

Куля 1 одержить потенціальну енергію

,

яка під час руху кулі перейде в його кінетичну енергію. В момент удару

,

звідки

.

Якщо кут α₁ малий (< 10°), то (при вимірі кута в радіанах) і тоді . Після удару куля 2 масою m₂ одержить швидкість u₂ і відхи­литься па кут β₂. Аналогічно до вищевикладеного можемо оде­ржати

.

Куля 1 після удару також відхилиться на деякий кут β₁. Тоді

.

Підставивши значення v₁, u₁ і и₂ в (10.9), (10.10). (10.11) і (10.12) і розв'я­завши рівняння відносно К, одержимо

,

,

,

.

Якщо маси куль узяти приблизно однаковими (m₁ ≈ m₂), то кут відхилення β₁, кулі масою m₁ буде дуже малим і ним можна знехтувати (β₁ = 0) Тоді одержимо

, (10.13)

, (10.14)

, (10.15)

. (10.16)

Обчислення коефіцієнтів К за формулами (10.13) ÷ (10.16), зіставлення їх значень із теоретичними для замкнутих систем і одержання певних висновків складає основу даної лабораторної роботи.

Рисунок 10.1