Интеграл с переменным верхним пределом

Заметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбрать любую букву:

Пусть функция интегрируема на отрезке Тогда для любого можно вычислить число Значит, для каждого определена функция Эту функцию называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке то интеграл непрерывен на этом отрезке. Если непрерывна на отрезке то

дифференцируема на указанном отрезке, причем

Доказательство первой части этого утверждения опускаем. Перейдем к обоснованию второй части. Пусть произвольная точка интервала Вычислим

Так как непрерывна на отрезке то применима теорема о среднем: существует точка такая, что

Тогда Устремляя здесь и учитывая, что при этом

т.е. Равенство (1) показано в любой внутренней точке отрезка Можно показать, что оно верно и на концах этого отрезка. Теорема доказана.

Следствие 1. Любая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную.

Действительно, в качестве одной из первообразных можно указать интеграл с переменным верхним пределом ().