Понятие об уравнении Шредингера как основном уравнении нерелятивистской квантовой механики. Принцип соответствия Бора

Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. § 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Y(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Y|², определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме d V, т. е. в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz. Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

(217.1)

где ћ = h /(2p), т— масса частицы, D—оператор Лапласа i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v <<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные должны быть непрерывны; 3) функция |Y|² должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) , или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что w = E/ћ, k=p/ћ). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Y|², то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

откуда

(217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р (E=p ² /( 2 m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случая p ²/(2 m)= E–U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Более совершенную квантовую модель атома предложил в 1913 г. молодой датский физик Н. Бор, работавший в лаборатории Резерфорда. Бор понял, что для построения теории, которая объясняла бы и результаты опытов по рассеянию α -частиц, и устойчивость атома, и сериальные закономерности, и ряд других экспериментальных данных, нужно отказаться от ряда принципов классической физики. Бор взял за основу модель атома Резерфорда и дополнил ее новыми гипотезами, которые не следуют или даже противоречат классическим представлениям. Эти гипотезы известны как постулаты Бора. Они сводятся к следующему.
1. Каждый электрон в атоме может совершать устойчивое орбитальное движение по определенной орбите, с определенным значением энергии, не испуская и не поглощая электромагнитного излучения. В этих состояниях атомные системы обладают энергиями, образующими дискретный ряд: Е1, Е2,..., Еn. Состояния эти характеризуется своей устойчивостью. Всякое изменение энергии в результате поглощения или испускания электромагнитного излучения может происходить только скачком из одного состояния в другое. 2. Электрон способен переходить с одной стационарной орбиты на другую. Только в этом случае он испускает или поглощает определенную порцию энергии монохроматического излучения определенной частоты. Эта частота зависит от уровня изменения энергии атома при таком переходе.
Эти постулаты Бор использовал для расчета простейшего атома (водорода), рассматривая первоначально наиболее простую его модель: неподвижное ядро, вокруг которого по круговой орбите вращается электрон. Объяснение спектра водорода было большим успехом теории Бора.
Квантовые постулаты Бора были лишь первым шагом в создании теории атома, поэтому пришлось воспользоваться следующим приемом: сначала задача решалась при помощи классической механики (заведомо неприменимой полностью к внутриатомным движениям), а затем из всего непрерывного множества состояний движения, к которым приводит классическая механика, на основе квантовых постулатов отбирались квантовые состояния. Несмотря на все несовершенство этого метода, он привел к большим успехам — позволил объяснить сложные закономерности в атомных и молекулярных спектрах, осмыслить природу химических взаимодействий и др.