Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

, где – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А приложить силу , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила ,…, . Для каждой материальной точки можно записать:

, где , поэтому ,

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

, (1.8) где – момент силы – это произведение силы на ее плечо r_i.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

– момент инерции i -й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так: . (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела: .

Обозначим через М, а через J, тогда (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение . – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: “Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение”.

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени t, то есть , (1.11) где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени dt.

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

или , где – импульс момента силы – это произведение момента силы М на промежуток времени dt.

– изменение момента импульса тела,

– момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть d L.

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса d L ”:

или = d L.

12. Основные понятия: момент силы, момент импульса, момент инерции.

Для характеристики вращательного эффекта силы при действии ее на твердое тело вводят понятие момента силы. Различают моменты силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина М, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку Л приложения силы, на силу F: , где - равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку.

Равнодействующая сила – это сила, которая равна результирующей силе и которая создает момент, равный суммарному моменту всех внешних сил.

- модуль момента,

где - плечо вектора относительно точки О.

Пара сил – это две равные по модулю, противоположено направленные и не действующие вдоль одной прямой силы и .

Плечо пары – расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы.

- момент пары относительно любой точки одинаков.

При изучении вращения твердых тел пользуются понятием момента инерции. Момент инерции тела — мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и массы при поступательном движении. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета называется вектор равный векторному произведению векторов и :

,

где - радиус-вектор материальной точки относительно точки О.

- модуль вектора момента импульса,

где - плечо вектора относительно точки О.

13. Момент инерции и теорема Штейнера.

- момент инерции твердого тела относительно оси, где - радиус-вектор -ой частицы, - расстояние от оси вращения до -ой частицы.

- формула для определения момента инерции твердого тела, где - плотность тела в данной точке, - объем элемента, находящегося на расстоянии от оси .

Моменты инерции некоторых однородных тел массой

Тело
Обруч (кольцо)
Тонкий стержень: 1. относительно середины 2. относительно конца		1. 2.
Диск (цилиндр): 1. относительно центра 2. относительно образующей		1. 2.
1. Шар 2. Сферическая оболочка		1. 2.

Теорема Штейнера:

момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .