Граничные условия на границе проводника с вакуумом

Рассмотрим заряженный проводник. Выберем на нем площадку dS такую малую, что значение вектора E в любой точке одинаково. Сигма=dq/dS=q/S/ Воспользуемся для нахождения вектора Е теоремой Гаусса Ф= E*dS=q/(эпсилант нулевое). Это и есть граничное условие.

Вопрос№14. Уравнение Пуассона. Общая задача электростатики.

Уравнение Пуассона: Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает: электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике. Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: Δφ = f,где Δ — оператор Лапласа или лапласиан, а f — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид: .Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):Δφ = 0.

Общая задача электростатики: Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

, где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). В единицах системы СГС: . В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

, и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа: