Вычисление относительной скорости

X

Y

Z

R

m2

m1

Система координат

Фактически в газе все молекулы движутся с различными скоростями, причем скорости молекул подчиняются распределению Максвелла. Для того, чтобы учесть этот факт, оценим величину - относительной скорости двух молекул, движущихся со скоростями и . Эту задачу удобнее решать в системе центра масс.

Обозначим m₁ и m₂ массы молекул первого и второго сорта газа, и – радиусы-векторы первой и второй молекул. – расстояние между молекулами, R – радиус-вектор центра масс (рисунок).

Тогда в выбранной системе координат

.

(1)

Дифференцируя эти равенства, получим

(2)

Здесь – скорость центра масс системы двух частиц, – относительная скорость этих молекул. Как видно из выражения (2), преобразование линейное и Якобиан преобразования =1 (доказать), следовательно,

.

(3)

С учетом теоремы умножения вероятности независимых событий, функция распределения молекул по скоростям есть произведение функций Максвелла

.

(4)

Соответственно в новых координатах (2) показатель степени запишется:

где – масса системы; – приведенная масса.

Таким образом, вероятность того, что система двух частиц имеет скорость в «объеме» пространства скоростей и равна

.

Очевидно, что

– вероятность для скорости всей системы, а

– вероятность для относительной скорости молекул.

Тогда искомая средняя относительная скорость равна

.

В случае молекул с одинаковыми массами (m ₁ = m ₂ и )

.

Приложение 2

Вывод формулы для оценки значения

Ранее были введены обозначения и , причем и (см. рис.2). Запишем уравнение для адиабатического расширения газа (кривая 3-4)

или .

Воспользовавшись формулой бинома Ньютона и ограничиваясь двумя членами, получим

; .

Учитывая, что 4 и 5 лежат на одной изохоре, т.е. , можно записать:

.

Откуда

.