Происхождение каждого эмпирического распределения обусловлено какими-то определенными естественными причинами. Совокупность причин, приводящих к тому или иному распределению, может быть в каждом случае иной.
Теоретическое распределение случайной величины, которому чаще всего соответствуют эмпирические распределения случайных величин в природе, является нормальным распределением или распределением Гаусса (закон Гаусса). Плотность вероятности нормального распределения определяется равенством
| (2-1.25)
|
| Рис.2-1.6. Дифференциальная кривая распределения
|
для любого значения
, где M – математическое ожидание,
– дисперсия, M и
– параметры распределения.
Соответствующая этой плотности дифференциальная кривая распределения показана на рис. 2-1.6.
Интегральная функция нормального распределения записывается в виде
. (2-1.26)
| Рис. 2-1.7. Интегральная функция распределения
|
График интегральной функции распределения изображен на рис. 2-1.7. Полная площадь под всей кривой выразится интегралом
.(2-1.27)
Свойства нормального распределения:
1. Из рис. 8 видно, что нормальное распределение симметрично относительно ординаты, соответствующей значению M. Значение M является центром группирования - математическим ожиданием распределения.
Наибольшая ордината, отвечающая значению x=M, имеет величину
| Рис.2-1.8. Функция нормального распределения
|
. (2-1.28)
2. При одном и том же значении M, но различных 
получим семейство кривых (рис. 2-1. 8).
Из рис. 2-1.8 видно, что когда 
уменьшается, ордината растет. Подъем кривой в центральной части компенсируется более резким спадом её к оси 
, так что общая площадь остается неизменной и равной 1.
Нормальная кривая имеет две точки перегиба, абсциссами которых являются . Следовательно, чем больше , тем шире кривая.
3. Интеграл от плотности вероятности нормального распределения в пределах от до 
равен 0,683; в пределах от 
до 
- 0,955; от 
до 
- 0,997.
4. Коэффициент асимметрии A нормального распределения равен нулю.
5. Эксцесс нормального распределения равен нулю.
