Пространство Минковского 4-ех мерный математический аппарат сто

Проверка ковариантности уравнений выраж законы природы представляет собой непростую задачу, если эти кравнения записаны в обычных 3-ех мерных обозначениях, поэтому желательно иметь такой матем аппарат, к-ый позволил бы автоматически без всйкой проверки устанавливать явл ли данные уравнения ковариантным или нет, а значит явл или нет релятивистский инвариантным соотв з природы. Такой аппарат имеется, его придумал польский физик Минковский. Это 4-ех мерный матем аппарат сто.

Поскольку пространство и время в сто неразрывно связаны можно говорить о едином четырехмерном многообразии, к-ое наз 4-ех мерным пространством времени или просто пространством Минковского.

В этом пр-ве вводиятся 4-ех мерные коорд события x_µ (µ=1,2,3,4) x₁=x,x₂=y,x₃=z,x₄=ct или x₄=ict

В этих коорд любая точка создает событие и наз мировой точной. 4-ех мерный радиус-вектор данного события x_µ.квадрат 4-ех мерного интервала между событиями М и О будет равен: Т.О. квадрат 4-мерного интервала .запишем в 4-ех мерных обозначениях преобразования лоренца:

- Матрица Лоренца. прямые преобразования Лоренца записанные в 4-ех мерных обозначениях. -обратные. между преобразованиями Лоренца и преобразованиями поворота есть связь, существенным отличием явл лишь то, что в повороте все координаты действительны(пространство Евклидово), а в преобразованиях Лоренца четвертая координата мнимая(т.е. пространство псевдоевклидово), т.е. пространство Минковского псевдо Евклидово пространство.

Четырехмерным вектором наз любая четверка величин зависящих от четырехмерных координат, к-ые при преобразованиях Лоренца преобразовываются так же как и компоненты четырехмерного радиус-вектора . Четырехмерным тензором 2-ого ранга наз совокупность 16 величин нумеруемых 2-мя индексами преобразующихся при преобразованиях Лоренца по закону . Тензор удовлетворяющий условиям наз симметричным тензором(10 независимых компонент), -наз антисимметричным тензором (6 независимых компонент). Тензоры можно складывать и умножать . Различают скалярное произведение(свертку) и прямое произведение. . -4-ех мерный оператор набла, при преобразованиях Лоренца это 4-ех мерный вектор. - четырехмерный градиент -четырехмерная дивергенция. - 4-ех мерный rotor. = 4-ех мерный ротор представляет собой антисимметричный тензор второго ранга и имеет 6 независимых компонент.в трехмерном пространстве можно ввести в 4-ех мерном тоже - оператор Даламбера.

Уравнение неприрывности в 4-ех мерной ковариантной форме

Уравнение неприрывности представляющее собой диф форму з сохр электрического заряда в обычной 3-ех мерной записи имеет вид запишем это уравнение в 4-ех мерной форме. Для этого введем в рассм 4-ку величин : . ,. ,- это и есть уравнение неприрывности записанное в ковариантной форме. Введенная нами 4-ка величин наз четырехмерным вектором плотности тока. Он включает в себя обычный трехмерны вектор плотности тока(3 компоненты) и с точностью до множителя ic плотности заряда (4 компонента). Поскольку -четырехмерный вектор, то при преобразованиях Лоренца его компоненты преобразуются по закону или обратный закон преобразования .

Рассмотрим 2-е инерциальных с-мы отсчета k и k’. Пусть система k’ движется отн с-мы k со скоростью v в положительном направлении оси x, пускай в k’ покоится объемный заряд с плотностью p.

Запишем закон преобразования для случая когда ν=4..

Эта формула показывает, что плотность электрического заряда не явл величиной инвариантной в различных исо плотность заряда имеет разные значения. Плотность заряда есть величина зависящая от скорости движения заряда. в - плотность покоящегося заряда, - плотность заряда отн той с-мы в которой заряд движется. Мы можем задать себе вопрос-а не противоречит ли этот результат з сохр заряда? ведь плотность меняется, но не меняется заряд. Как раз таки для того чтобы закон выполнялся и надо чтобы плотность менялась. ; т.е. закон сохр заряда выполняется именно благодаря тому, что плотность заряда изменяется.