Приложение 1. Обработка результатов измерений

Основная задача физического эксперимента – измерение физических величин для дальнейшего их анализа и установления взаимосвязей между ними – физических законов.

Измерения бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно, тогда как при косвенных измерениях нужная величина не измеряется, а вычисляется по результатам измерений других величин.

Любое измерение (прямое или косвенное) дает лишь приблизительное значение данной физической величины. Поэтому вместе с результатом всегда необходимо указывать его точность, называемую абсолютной погрешностью результата. Абсолютной погрешностью измерения называется разность между значением, полученным в данном измерении и истинным значением величины: .

Наиболее близким к истинному значению является среднее арифметическое значение всех n измерений: , где x₁, х₂, x₃,... х_n - результаты отдельных измерений величины х.

Рис. 1

Интервал, внутри которого лежит истинное значение измеряемой величины, называется доверительным интервалом (рис. 1). Абсолютная погрешность определяет границы доверительного интервала , чему соответствует форма записи результатов измерений в виде .

Надежностью измерения или доверительной вероятностью α называется вероятность того, что измеренная величина попадает в указанный доверительный интервал. Например, доверительная вероятность α=0.95 означает, что из 100 измерений 95 попадет в доверительный интервал.

Абсолютная погрешность имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Измеренная величина округляется таким образом, чтобы ее последняя значащая цифра (цифра наименьшего разряда) соответствовала по порядку величины последней значащей цифре погрешности.

Примеры:

х = 4,45 ± 0,4 (не верно) Þ 4,5 ± 0,4 (верно)

х = 5,71 ± 0,15 (верно)

х = 6,8 ± 0,03 (не верно) Þ 6,80 ± 0,03 (верно)

х = 705,8 ± 70 (не верно) Þ (71 ± 7)* 10 (верно)

Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины к самому значению этой величины называется относительной погрешностью:

Относительная погрешность δ х – величина безразмерная. Фактически относительная погрешность показывает степень неточности полученного результата (или «процентное содержание неточности», если δ х *100%).

На практике, когда требуется знать значение физических величин с заданной доверительной вероятностью (как в ряде лабораторных работ) для расчета погрешностей используется метод Стьюдента.

Последовательность расчета погрешностей методом Стьюдента:

1) Вы измерили и получили несколько i = 1...n значений величины х_i.

2) Определяем среднее арифметическое значение величины х:

3) Определяем среднеквадратичную ошибку среднего арифметического значения х, т.е. отклонение среднего арифметического от истинного значения:

4) Задаемся доверительной вероятностью a. По таблице коэффициентов Стьюдента определяем по известному значению числа измерений n и доверительной вероятности a коэффициент Стьюдента t_an.

5) Определяем абсолютную погрешность величины х (доверительный интервал)

6) Определяем относительную погрешность:

7) Записываем результат

с указанием доверительной вероятности a и размерности самой величины.

Таблица коэффициентов Стьюдента.

n	α = 0.9	α = 0.95	α = 0.99
	6.3	12.7	63.7
	2.9	4.3	9.9
	2.4	3.2	5.8
	2.1	2.8	4.6
	2.0	2.6	4.0
	1.9	2.4	3.7
	1.9	2.4	3.5
	1.9	2.3	3.4
	1.8	2.3	3.3
	1.6	2.0	2.6
	1.65	1.96	2.59