Задают первоначальное число интервалов разбиения m и вычисляют приближенное значение интеграла S1 выбранным методом

2. Число интервалов удваивают m = 2m.

Вычисляют значение интеграла S2.

4. Если |S1 – S2| ³ e (e – заданная погрешность), то S1 = S2, расчет повторяют – переход к пункту 2.

5. Если |S1 – S2| < e, т.е. заданная точность достигнута, выполняют вывод результатов: S2 – найденное значение интеграла с заданной точностью e, m – количество интервалов.

Метод 2. Анализ формул (9.1), (9.2) и (9.3) показывает, что точное значение интеграла находится между значениями Ф_СР и Ф_ТР, при этом имеет место соотношение

Ф_СИ = (Ф_ТР - 2×Ф_СР)/3.

Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с m = 2 и производится по двум методам, в результате получают Ф_СР, Ф_ТР. Если |Ф_СР – Ф_ТР| ³ e, увеличивают m = 2m и расчет повторяют.

Формулы Гаусса

При построении предыдущих формул в качестве узлов интерполяционного многочлена выбирались середины и (или) концы интервала разбиения. При этом оказывается, что увеличение количества узлов не всегда приводит к уменьшению погрешности, т.е. за счет удачного расположения узлов можно значительно увеличить точность.

Суть методов Гаусса порядка n состоит в таком расположении n узлов интерполяционного многочлена на отрезке [ x_i, x_{i +1}], при котором достигается минимум погрешности квадратурной формулы. Анализ показывает, что узлами, удовлетворяющими такому условию, являются нули ортогональнoго многочлена Лежандра степени n (см. подразд. 8.1).

Для n = 1 один узел должен быть выбран в центре отрезка, следовательно, метод средних является методом Гаусса 1-го порядка.

Для n = 2 узлы должны быть выбраны следующим образом:

,

и соответствующая формула Гаусса 2-го порядка имеет вид

.

Для n = 3 узлы выбираются следующим образом:

,

и соответствующая формула Гаусса 3-го порядка имеет вид

.