Лабораторная работа №9. Алгоритмы вычисления интегралов

Цель работы: изучить алгоритмы нахождения значений интегралов.

Краткие теоретические сведения

Формулы для вычисления интеграла получают следующим образом. Область интегрирования [ a, b ] разбивают на малые отрезки, тогда значение интеграла по всей области равно сумме интегралов на этих отрезках.

Выбирают на каждом отрезке [ x_i, x_{i+ 1}] 1–5 узлов и строят интерполяционный многочлен соответствующего порядка. Вычисляют интеграл от этого многочлена, и в результате получают формулу численного интегрирования через значения подынтегральной функции в выбранной системе точек. Такие выражения называют квадратурными формулами.

Рассмотрим наиболее часто используемые квадратурные формулы для равных отрезков длиной h = (b - a)/ m; x_i = a + (i - 1)× h; i = 1, 2, …, m; где m – количество разбиений отрезка интегрирования.

Формула средних

Формула средних получается, если на каждом i -м отрезке взять один центральный узел x_{i +1/2} = (x_i + x_{i +1})/2, соответствующий середине отрезка. Функция на каждом отрезке аппроксимируется многочленом нулевой степени (константой) P ₀(x) = y_{i +1/2} = f (x_{i +1/2}). Заменяя площадь криволинейной фигуры площадью прямоугольника высотой y_{i +1/2} и основанием h, получим формулу средних (рис. 9.1):

. (9.1)

Рис. 9.1