Учет влияний по направлениям — тренд и анизотропия

Существует два типа направленных составляющих, которые могут оказывать влияние на интерполирование результирующей поверх­ности: глобальные тренды и влияния по направлениям, проявляю­щиеся на вариограмме/ковариации (и известные как анизотро­пия).

Глобальный тренд - это доминирующий процесс, который оказывает детерминистское влияние на все измерения. Глобаль­ный тренд может быть представлен математической формулой (на­пример, полиномом) и вычтен из анализа значений в опорных точ­ках, а затем вновь добавлен перед выполнением интерполяции. Этот процесс носит название "вычитание (или удаление) тренда" (см. Главу 7, 'Использование аналитических инструментов при по­строении поверхностей').

Глобальный тренд может быть рассмотрен на примере влияния преобладающих ветров на шлейф от дымовой трубы фабрики (ри­сунок 18). На рисунке самые высокие концентрации загряз­няющих веществ показаны теплыми цветами (красными и желты­ми), а более низкие концентрации - холодными цветами (зелены­ми и синими).

Обратите внимание, что значения загрязнения в направлении восток-запад меняются медленнее, чем в направле­нии север-юг. Это происходит из-за того, что преобладающий ве­тер дует в направлении с запада на восток, в то время, как направ­ление юг-север перпендикулярно направлению ветра.

Рисунок 18 – глобальный тренд

Форма кривой модели вариограммы/ковариации может также меняться в зависимости от направления (анизотропия), если вы вычли глобальный тренд из данных, или если тренда в данных нет.

Анизотропия отличается от глобального тренда, рассмотренного выше, поскольку глобальный тренд может быть соотнесен с каким-либо физическим процессом (в предыдущем примере, преобладаю­щим ветром) и описан математической формулой. Причина анизо­тропии (влияния по направлениям) на вариограмме, как правило, неизвестна, поэтому моделируется как случайная погрешность. Но даже без знания причины анизотропии, ее можно оценить количе­ственно и учесть при выполнении интерполяции.

Анизотропия, - это, как правило, не детерминистский процесс, который может быть описан единой математической формулой. У нее нет единого источника, и она не имеет предсказуемого влияния на все измеренные значения.

Анизотропия - это харак­теристика случайного процесса, который показывает, что про­странственная автокорреляция сильнее проявляется в одном направлении, чем во всех остальных. На рисунке 19 ддд проиллюстрировано, как процесс должен выглядеть теоретиче­ски.

Рисунок 19 - Анизотропия

Более высокие концентрации загрязнения показаны теплыми цветами (красными и желтыми оттенками), а более низкие значения концентрации - холодными цветами (зеленым и синим).

Случайный процесс показывает колебания, которые в одном направлении короче, чем в другом. Эти колебания могут быть результатом некоего неизвестного или неизмеренного фи­зического процесса, но моделируются как случайный (стохасти­ческий) процесс с автокорреляцией в одном направлении.

Поскольку в данном примере присутствует анизотропия, после построения эмпирической вариограммы можно увидеть, что пространственные отношения различны для двух направлений. В направлении север-юг форма кривой вариограммы растет перед выравниванием быстрее, рисунок 20.

Рисунок 20 - Вариограмма по разным направлениям

При анизотропии форма кривой вариограммы может меняться в зависимости от направления. Изотропия - это случай, когда вид вариограммы не зависит от направления

Регулирование области поиска соседей для такого направленного влияния обоснованно, поскольку вы знаете, что точки, расположенные в направлении по ветру, даже удаленные друг от друга, будут больше похожи, чем точки, рас­положенные перпендикулярно к преобладающему направлению ветра.

После того, как определена форма области поиска соседей, вы можете также ограничить, какие точки, попадающие в эту об­ласть, должны быть использованы.

Вы можете определить мак­симальное и минимальное количество используемых точек, а также вы можете разделить область поиска соседей на сектора. Если вы разделите эту область на сектора, ограничения по мак­симальному и минимальному количеству точек будут примене­ны к каждому сектору. Существуют различные способы деления на сектора (см. рисунок 21).

Рисунок 21– Выбор формы области поиска соседей

Точки, выделенные в виде данных диалога Поиск соседей, пока­зывают опорные точки с весами, которые будут использованы для поиска значения искомой точки в центре эллипса. Соседи попадают в показанный эллипс. В данном примере, двум точкам (красным) в западном секторе и одной в южном секторе будут присвоены веса более 10 процентов. Вес точки (желтой), распо­ложенной в северном секторе, будет от 3 до 5 процентов.

Поверхность, построенная по методу взвешенных расстояний (IDW), зависит от выбора степени (р) и способа поиска соседей.

Метод взвешенных расстояний - это жесткий интерполятор, при котором максимальные и минимальные значения на проинтерполированной поверхности (см. рисунок 22) могут иметь только опорные точки. Результирующая поверхность чувствительна к кластеризации и присутствию в данных экстремальных значе­ний. Метод взвешенных расстояний предполагает, что поверх­ность была получена с использованием локальной вариации, ко­торая может быть учтена с помощью определения области поис­ка соседей.

Рисунок 22– Поверхность, полученная по методу взвешенных расстояний

Дополнени е - Фактически большинство интерполяционных методов используют формулу (2.1) для расчета значений функций в произвольных точках. Различаются принципы, используемые для за­дания весовых коэффициентов w_i и, соответственно, выражения для них расчета.

В методе обратных расстояний использу­ется обратно пропорциональная зависимость весовых коэффици­ентов от некоторой степени расстояния между расчетной точкой и точкой наблюдения (d_i):

, (2.4)

здесь p - число, обычно принимаемое 1, 2 или 3.

Такой подход имеет вполне очевидный смысл - более удаленные точки в меньшей степени определяют значение в расчет­ной точке и наоборот.