Полином Лагранжа

Решение ищем в виде:

где – базисные полиномы –й степени, для которых выполняется условие:

.

Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то будет удовлетворять условиям интерполяции:

Для построения базисных полиномов определим

Легко понять, что

Функция является полиномом –й степени от и для нее выполняются условия "базисности":

Таким образом, нам удалось решить задачу о построении интерполирующего полинома N– й степени, и для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде компактной формулы:

Погрешность этой формулы можно оценить, если исходная функция имеет производные до N+1 порядка:

Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции , а также от расположения узлов интерполяции и точки z. Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях N<20. При бόльших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом N). Рассмотрим частные случаи. Пусть N=1, т.е. заданы значения функции только в двух точках. Тогда базовые полиномы имеют вид:

получаем формулы кусочно–линейной интерполяции. Пусть N=2.

В результате мы получили формулы так называемой квадратичной или параболической интерполяции.

Пример. Заданы значений некоторой функции:

x				3,5
f	-1	0,2	0,5	0,8

Требуется найти значение функции при , используя интерполяционный полином Лагранжа. Для этого случая , т.е. полином Лагранжа имеет третий порядок. Вычислим значения базисных полиномов при :