Линейная функция. Различные уравнения прямой

Пусть прямая L проходит через точку и образует с положительным направлением оси Ох угол α ().

Возьмем на прямой точку .

Очевидно, . (4.1)

Обозначим и назовем угловым коэффициентом прямой L.

Из (4.1) получаем:

y-y ₁ =k (x-x ₁) (4.2)

Можно показать, что уравнение (4.2) справедливо и для случая .

Уравнение (4.2) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Если в уравнении (4.2) k – произвольное число, то уравнение (4.2) определяет пучок всевозможных прямых (кроме вертикальной прямой), где точка - центр пучка (рис. 4.34).

Пусть известно, что прямая, имеющая угловой коэффициент , отсекает на оси Оу отрезок, равный b, то есть проходит через точку B (0, b).

Используя уравнение (4.2) получаем уравнение:

y=kx+b, (4.3)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Поведение прямой определяется параметрами k и b.

1. , , прямая проходит через начало координат.

2. , , прямая параллельна оси Ох.

3. , , - уравнение оси Ох. (рис. 4.36)

Пусть даны две точки и , через которые проходит прямая и , (рис. 4.37). Угловой коэффициент этой прямой . Подставим его в уравнение (4.2) и получим:

или

. (4.4)

Получено уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть прямая параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, для любой точки М, принадлежащей прямой L, абсцисса:

х=а (4.5)

Получено уравнение вертикальной прямой.

Уравнения (4.2)-(4.5) показывают, что любая прямая описывается линейным уравнением (линейной функцией).

Покажем, что всякое линейное уравнение

(4.6)

определяет прямую на плоскости, если А и В одновременно не обращаются в ноль.

1. Пусть , тогда . Обозначим , . Тогда уравнение (4.6) принимает вид , то есть определяет прямую.

2. , , получаем , или . Обозначим . Получим уравнение , но это уравнение определяет вертикальную прямую (4.5).

3. , тогда - уравнение оси Ох;

, тогда - уравнение оси Оу.

Таким образом, при любых значениях коэффициентов А и В и свободного члена С уравнение (4.6) определяет прямую линию на плоскости хОу. Оно называется общим уравнением прямой на плоскости.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть известны угловые коэффициенты прямых L ₁ и L ₂, равных k ₁ и k ₂ соответственно, , (рис. 4.39).

Угол между прямыми , при этом , .

Тогда , откуда получаем ,где стрелка означает, что угол получается при повороте прямой L ₁ к прямой L ₂ против часовой стрелки.

Если прямые параллельны, то есть , то , следовательно k ₁= k ₂ - условие параллельности прямых. Если прямые перпендикулярны, то , (не существует). Для этого должно выполняться условие или k ₁ k ₂=−1, откуда k ₁=−1/ k ₂ - получено необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

;

Примеры.

1. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точку . Выбрать из этого пучка прямые, составляющие с осью Ох углы:

а) 45°; б) 60°.

Решение. Запишем уравнение пучка прямых с центром в точке

а) для прямой (АВ) угловой коэффициент

б) для прямой (АС)

уравнение прямой (АВ)

уравнение прямой (АС)

2. В треугольнике с вершинами А (−2;0); В (2;6) и С (4;2). Найти уравнения высоты, проведенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины В.

Решение. ; .

а) уравнение BD будет искать как прямую, проходящую через данную точку В (2;6), тогда ее уравнение , так как , то угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяют условию .

Угловой коэффициент АС найдем по двум точкам , тогда

Уравнение высоты (ВD): , или

б) Чтобы найти уравнение медианы (ВЕ) найдем координаты точки Е, являющейся серединой отрезка АС.

;

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки: В (2;6) и Е (1;1)

; , откуда получается ее уравнение медианы (ВЕ):

Функция у=|х|.

По определению

Функция задается двумя различными аналитическими выражениями.