Квадратурные формулы отличаются друг от друга способом оценки значения Si – площади элементарной криволинейной трапеции

Рассмотрим получение простейших формул для часто используемой равномерной сетки.

Формулы прямоугольников.

Площадь i-той элементарной трапеции можно оценить (приближенно вычислить) как площадь прямоугольника со сторонами и f_i. Тогда и значение интеграла:

(6.4)

Рис. 6.2. Оценка элементарной площади S_i левым прямоугольником.

Полученная формула называется формулой левых прямоугольников, т.к. для оценки площади использовалось левое основание элементарной криволинейной трапеции.

Аналогично можно получить формулу правых прямоугольников:

Рис. 6.3. Оценка элементарной площади S_i правым прямоугольником.

Для данного случая и тогда значение интеграла:

(6-5)

Эти формулы не находят широкого применения, т.к. имеют большую погрешность, пропорциональную величине шага

Как появляется эта погрешность, видно на рисунках.

Для повышения точности площадь S_i можно оценить, используя прямоугольник со стороной, равной значению подынтегральной функции в середине элементарного отрезка

Рис. 6.4. Оценка элементарной площади S_i центральным прямоугольником.

Для данного случая и формула центральных прямоугольников имеет вид:

(6.6)

Как видно из рис. 6.4, погрешность в оценке площади S_i в данном случае существенно меньше, чем в двух предыдущих (погрешность оценивается разницей площадей δ₁ и δ₂).

Погрешность метода пропорциональная квадрату величины шага

Схема алгоритма вычисления значения определённого интеграла по приведённым квадратурным формулам представлена на рис. 6.6.

Пример 6.1. Вычисление значения определённого интеграла по формулам прямоугольников. Для упрощения ручных расчетов рассмотрим достаточно простую задачу.

Требуется вычислить:

Точное значение легко вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

=

=

Для вычисления интеграла по квадратурной формуле необходимо выбрать число узлов n.

Пусть n=5, тогда

Расчет по формуле левых прямоугольников:

Погрешность расчета .

Суммарная площадь прямоугольников заметно меньше площади криволинейной трапеции.

Знак и значение погрешности можно легко оценить по геометрической иллюстрации вычисления интеграла по квадратурной формуле.

	0,5		0,4		0,8		1,2		1,6

Рис. 6.5. Геометрическая иллюстрация вычисления значения определённого интеграла по формуле левых прямоугольников.

Расчет по формуле правых прямоугольников:

Погрешность расчета d» 4,125 - 4,71 = - 0,585.

Для повышения точности необходимо увеличить n или использовать более точные квадратурные формулы.

Расчет по формуле центральных прямоугольников:

Погрешность расчета d» 4,125 - 4,114= 0,011.

Формула центральных прямоугольников на порядок точнее предыдущих формул.

Формула трапеций.

В данном методе элементарная криволинейная трапеция заменяется трапецией (кривая f(x) заменяется хордой CD).

Рис. 6.7. Оценка элементарной площади S_i трапецией.

Из рисунка видно, что

Отсюда:

(6.7)

Погрешность формулы трапеций пропорциональная квадрату шаг h т.е. формулы центральных прямоугольников и трапеций имеют близкую точность.

Пример 6.2. Вычислить по формуле трапеций значение ранее рассмотренного определённого интеграла при n =5, h = 0,3.

Погрешность расчета d» 4,125 – 4,1475.

Формула трапеций имеет такую же точность, как и формула центральных прямоугольников.