Элементарные логические функции

Основные понятия

лгебра логики – это алгебра, образованная множеством {0,1} и всеми возможными операциями на нем. Алгебра логики является основным инструментом синтеза и анализа цифровых схем различного типа.

Функция алгебры логики (или логическая функция) F(x₁,…,x_n)- это функция, принимающая значения 0 или 1, аргументы которой также принимают значения 0 или 1. Элементы 0 и 1 в данном случае не являются числами в обычном смысле, хотя по некоторым свойствам похожи на них. Чаще всего переменная 1 интерпретируется как «да» или «истина», а переменная 0 как «нет» или «ложь».

Если количество переменных равно n, то возможно 2ⁿ различных наборов их значений. Так как для любого набора значений аргументов функция может принимать значение 0 или 1, то количество различных логических функций от n переменных равно 2^k, где k = 2ⁿ.

Логические функции могут быть заданы различным образом, в том числе таблицей истинности. Таблица истинности логической функции содержит все возможные наборы значений переменных и соответствующие им значения функции. Наборы значений переменных перечисляются в таблице в стандартном порядке, при котором наборы рассматриваются как двоичные числа и записываются в порядке их возрастания.

Элементарные логические функции

Среди всех функций алгебры логики выделяют функции одной и двух переменных, которые называют элементарными.

Логических функций одной переменной всего 4. Объединенная таблица истинности этих функций приведена в виде таблицы 2.1.

Таблица 2.1

Переменная Х	Значения логических функций
F0(x)	F1(x)	F2(x)	F3(x)

Функции F₀(x) и F₃(x) называют константами (генераторами) 0 и 1 соответственно [F₀(x)=0 и F₃(x)=1], функцию F₁(x) – тождественной функцией [F₁(x)=x], а функцию F₂(x)-отрицанием (инверсией) переменной х или функ -

Значения логических функций двух переменных (всего их 16) приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Значения переменных

Значения логических функций

х1

х2

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

Наиболее часто используемые логические функции имеют специальные названия.

Функции F₀(х₁, х₂) и F₁₅(х₁, х₂) называют константами (генераторами) 0 и 1 соответственно (F₀(х₁, х₂)=0, F₁₅(х₁, х₂)=1).

Функция F₁(х₁, х₂) называется конъюнкцией х₁ и х₂ и обозначается как х₁ & х₂, или х₁ Ù х₂, или х₁ — х₂ (знак конъюнкции часто опускают). Конъюнкция х₁ и х₂ равна 1, если равны 1 соответственно х₁ и х₂, поэтому ее часто называют функцией И. Также ее называют логическим умножением, так как ее таблица совпадает с таблицей умножения для чисел 0 и 1.

Функцию F₂(х₁, х₂) называют левой коимпликацией и обозначают как х₁ ® х₂. F₂(х₁, х₂) = х₁ × х₂.

Функцию F₄(х₁, х₂) называют правой коимпликацией и обозначают как х₁ х₂. F₄(х₁, х₂) = х₁ × х₂.

Функция F₆(х₁, х₂) называется сложением по модулю два (отрицанием эквивалентности, неравнозначностью, исключающим ИЛИ), она принимает значение 1 только при различных значениях переменных. Эта функция обозначается как х₁ Å х₂.

Функцию F₇(х₁, х₂) называют дизъюнкцией (логическим сложением, функцией ИЛИ). Она обозначается как х₁ Ú х₂. Эта функция равна 1, если равна 1 переменная х₁, или переменная х₂ или обе (все) переменные.

Функция F₈(х₁, х₂) является отрицанием функции ИЛИ и называется функцией ИЛИ-НЕ (стрелкой Пирса). Функция ИЛИ-НЕ обозначается как х₁ Ú х₂. Она принимает значение 1, только если обе (все) переменные равны 0.

Функция F₉(х₁, х₂) называется функцией эквивалентности (равнозначности) и обозначается как х₁ ~ х₂ (х₁ º х₂). Эта функция равна 1, только в случае, если значения всех переменных равны.

Функцию F₁₁(х₁,х₂) называют правой импликацией. Она обозначается как х₁ х₂ (х₂ É х₁). F₁₁(х₁,х₂) = х₁ Ú х₂.

Функцию F₁₃(х₁,х₂) называют импликацией (левой). Она обозначается как х₁ ® х₂ (х₁ É х₂). Эту функцию можно выразить также, как F₁₃(х₁, х₂) = х₁ Ú х₂.

Функция F₁₄(х₁, х₂) является отрицанием конъюнкции и называется функцией И-НЕ (функцией Шеффера). Она принимает значение 1, только если хотя бы одна переменная равна 0. F₁₄(х₁,х₂)= х₁ × х₂.

Функции F₃(х₁, х₂), F₅(х₁, х₂), F₁₀(х₁, х₂) и F₁₂(х₁, х₂) являются вырожденными и фактически являются функциями одной переменной:

F₃(х₁, х₂) = х₁, F₅(х₁, х₂) = х₂, F₁₀(х₁, х₂) = х₂, F₁₂(х₁, х₂) = х₁.

Из рассмотренных выше элементарных функций при синтезе цифровых схем наиболее часто используются функции И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ и ИЛИ-НЕ.