Представление непериодических функций времени в частотной области. Интеграл Фурье

Ряд Фурье допускает представление в частотной области толь­ко периодических функций времени. Однако часто имеют дело с непериодическими функциями, характерными, например, для коммутационных процессов, молнии или разрядов статического электричества и т. д.

При определении спектра непериодической импульсной функции выполним предельный переход, воспользовавшись комплексной формой записи ряда Фурье для периодических функций (пределы интегрирования – Т/2 и + Т/2):

Так как в линейчатом спектре ряда Фурье расстояние между спектральными линиями соответствует

Можно также записать

Далее выполняется предельный переход при и . При этом конечное расстояние между спект­ральными линиями за знаком суммы переходит в бесконечно малое расстояние , дискретная переменная в непре­рывную переменную , а сумма – в интеграл. Таким образом, получают интеграл Фурье для непериодической функции:

где - представляет собой преобразование Фурье функции называемое спектральной плотностью носит название плотности распределения амплитуд. Для непериодической функции обратное преобразование Фурье имеет вид:

Следовательно, преобразование Фурье и его обращение взаимообратны с точностью до множителя .

Название «спектральная плотность» происходит от того, что спектральная функция идентична линейчатому спектру , отнесенному к расстоянию между соседними частотами. Так как , получаем

Если отнести амплитуды к и образовать предельное значение для (соответственно ), получим

,

иначе говоря, спектральную плотность.

Если, например, линейчатый спектр измеряется в вольтах, то спектральная плотность сравнимого однократного про­цесса имеет размерность В/Гц.

Очевидно, непериодические процессы тоже могут быть пред­ставлены как наложение синусоидальных или косинусоидальных колебаний. Однако в отличие от периодических процессов здесь участвуют все частоты от до с амплитудами . Так как при однократных процессах содержащаяся в одном импульсе конечная энергия распределяется на бесконечное множество ча­стот, то амплитуда отдельной спектральной составляющей долж­на быть бесконечно малой. Чтобы избежать этой неопределенно­сти, относят энергию импульса к частоте и получают, таким обра­зом, спектральную плотность, предельное значение которой при остается конечным и как раз соответствует преобразова­нию Фурье.