Основные уравнения электромагнитных волн

Для анализа взаимодействия ВТП с ОК в различных условиях рассмотрим уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле.

(1)

(2)

и - соответственно векторы напряженности магнитного и электрического поля.

- вектор магнитной индукции,

- вектор плоскости полного тока, равный сумме векторов плотности токов проводимости, токов смещения, токов переноса и сторонних токов.

.

Сторонние токи могут быть обусловлены конвекцией, диффузией, разностью температур и т.д.

В проводящей среде токи смещения малы и ими можно пренебречь:

= 0.

Векторы плотности токов проводимости и токов переноса определяются из выражений:

,

где σ - удельная электрическая проводимость,

- вектор скорости переноса.

Если объект контроля неподвижен относительно источника электромагнитного поля, то = 0 и токи переноса отсутствуют.

I. а) Если ОК ферромагнитный, то уравнение (2) можно представить в виде:

, (3)

где μd- дифференциальная магнитная проницаемость.

б) Для случая проводящей среды ( =0) и отсутствия токов переноса ( = 0) уравнения (1) и (3) можно свести в одно

.

Выполняя операцию ротации над обеими частями уравнения, получим:

или

(4)

в) Если среда ферромагнитная, то:

Тогда уравнение (4) есть нелинейное параболическое уравнение.

в) В случае линейной среды:

Рис. Линейная зависимость В(Н)

Тогда уравнение (4) при отсутствии сторонних токов принимает вид:

(уравнение Фурье). (5)

Если возбуждающий ток, изменяется по синусоидальному закону с круговой частотой ω (монохроматическое возбуждение), то уравнение (5) принимает вид уравнения Гельмгольца:

, где

.

Покажем это.

.

Cos(ωt + φ) можно представить в виде действительной части комплексного числа

тогда

или (6)

где , что и требовалось доказать.

При решении конкретных задач приходится пользоваться граничными условиями:

Рис. Условия на границе двух сред для тангенциальной составляющей поля

(7)

Составляющие вектора напряженности магнитного поля по обе стороны границы раздела сред имеют одинаковое значение. Составляющие вектора магнитной индукции, нормальные к поверхности раздела двух сред, имеют по обе стороны поверхности одинаковое значение.

II. Уравнения Максвелла можно свести к уравнению векторного потенциала , определяемого из выражения:

(8)

а) из уравнения (2) получим:

Или

Из уравнения (1) для случая проводящей среды и отсутствия токов переноса, получим:

(9)

Получили уравнение векторного потенциала для изотропной проводящей среды при = 0.

б) при монохроматическом возбуждении это уравнение преобразуется в уравнение Гельмгольца:

(10)

в) Если объект контроля перемещается относительно источника электромагнитного поля, то нужно учитывать и токи переноса.

Тогда уравнение (10) приобретет вид:

(11)

III. Если ОК выполнен из полупроводящего материала, то в уравнении (1) необходимо учитывать и токи смещения.

(12)

В случае монохроматического возбуждения последнее уравнение принимает вид:

, где

(13)

Связь сигналов первичных преобразователей с параметрами объекта контроля