Контрольная работа за сентябрь 2007 г

Задача 1.

Обское море ранее было прямой рекой. Чартерный пароход «Обь» совершал рейс по реке до Камня - на Оби и обратно за время t, а сейчас по морю за время T. Сравнить t и T (<,>,=?).

Решение:

Пусть скорость парохода относительно воды , скорость воды относительно берега . Тогда при движении по реке в одну сторону, скорость парохода , в другую . Полное время движения туда+обратно будет равно

(1)

При движении по морю скорость , а время

(2)

Из (1) и (2) видно, что

Ответ:

Задача 2.

Студент ФЕН на ядре движется по параболе в поле тяжести. Желая продлить время полета, студент может выстрелить один раз из пистолета. В каком направлении он должен выстрелить в верхней точке траектории? Как и когда он должен выстрелить в общем случае для максимального продления времени полета? Почему?

Решение:

1)

Уравнение движения в поле тяжести имеет вид:

,

где - начальные скорости по и соответственно. Время полета определяется уравнением для вертикальной координаты и находится из условия: . В случае рассмотрения верхней точки параболы, можно сместить начало координат в данную точку, тогда будет скоростью в верхней точки траектории. Т.о. для продления времени необходимо увеличивать , т.е. стрелять надо вертикально вниз.

2)

В общем случае, по-прежнему необходимо увеличивать скорость , т.е. стрелять в начальный момент времени полета вертикально вниз.

Ответ: Стрелять нужно всегда вертикально вниз.

Задача 3.

На горизонтальной плоскости лежит монета. Плоскость начинают двигать с ускорением в горизонтальном направлении. При каком минимальном ускорении монета начнет скользить по плоскости? Коэффициент трения m. Рассмотреть также общий случай наклонной плоскости (угол к горизонту b). Во втором случае вектор ускорения перпендикулярен полю тяжести g и нормали к плоскости.

Решение: Смотри в разобранных задачах.

Ответ: ;

Задача 4.

Нарисовать зависимость веса студента от времени в задаче (2). Ядро выстреливают из пушки. (Вес тела – сила, с которой оно действует на подставку - ядро). Отрезок времени начинается до выстрела и заканчивается после приземления и остановки ядра.

Решение:

До выстрела из пушки и после остановки ядра вес студента равен . Во всех точках полета, кроме момента выстрела, вес студента равен нулю – студент и ядро в «свободном» полете двигаются по одной траектории, никак не действуя друг на друга. Студент испытывает состояние невесомости. В момент выстрела пули может возникнуть сила реакции опоры и, соответственно, «вес». Все зависит от направления вылета пули. Если стрелять так, как при правильном ответе в задаче 2, после выстрела студент и ядро полетят по разным траекториям, соответственно, не будет ни реакции опоры (ядра), ни веса.

Задача 5.

Тонкостенный цилиндр, двигаясь без проскальзывания по горизонтальной плоскости, плавно переходящей в наклонную, закатывается на наклонную горку, на высоту 1м. Какой перепад высот преодолеет цилиндр, если на наклонной части «выключить» трение?

Решение:

1)

Случай с трением. Путь цилиндр двигается так, что его ось относительно плоскости имеет скорость , а нижняя точка цилиндра А (см. рисунок) в момент касания относительно плоскости не движется (нет проскальзывания).. Это может быть только в том случае, если , где - скорость точки А цилиндра относительно его оси. Перед горкой цилиндр массы обладает кинетической энергией , которая складывается из энергии поступательного движения , и энергии вращательного движения . Энергия вращательного движения складывается из суммы энергий движения элементов тела относительно оси вращения. Поскольку вся масса тонкостенного цилиндра сосредоточена в ободе, скорость всех его элементов относительно одинакова: . Поэтому энергия вращательного движения в данном случае определяется просто: . Соответственно полная кинетическая энергия цилиндра при движении по горизонтальной плоскости:

.

Когда цилиндр остановится на горке, то он перестанет двигаться вдоль плоскости и вращаться, при этом вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию:

.

В итоге, получаем:

2)

Случай без трения. Если на наклонной плоскости трение «выключить», то при подъеме цилиндр будет продолжать вращаться с постоянной угловой скоростью, вплоть до самой верхней точки, и кинетическая энергия вращения в потенциальную энергию не перейдет. Высота подъема в этом случае определяется из соотношения: . Соответственно, .

3)

Сравнивая высоты из 1) и 2), получаем .

Ответ: Если трение «выключить», высота подъема будет в два раза меньше, т.е. если , то . Сила трения «закатывает» цилиндр на наклонную плоскость.