Понятие корреляционно-регрессионный анализ

Корреляция в переводе с латинского обозначает соответствие или взаимосвязь. Корреляционная зависимость отражает связь между величинами, когда определенным значениям факториальных величин соответствует много значений зависимой величины.

Корреляционный анализ в задачах моделирования транспортных процессов и систем имеет фундаментальное значение, так как теснота корреляционной связи определяет структуру модели. Высокая и полная корреляционная связь требует объединения величин. Отсутствие или слабость корреляционных связей позволяют рассматривать величину как независимую.

Во многих случаях выбор независимых величин на базе исследования их корреляционных связей требует дополнительного экспертного исследования и решения.

Корреляционная связь между двумя переменными изучается с помощью парной корреляции. О тесноте корреляционной связи можно судить по характеру расположения точек на графике, связующем переменные х и у. Такой график называется полем корреляции (рис. 2). Разброс точек по всему полю свидетельствует об отсутствии корреляции (рис. 2,а), рис. 2,б свидетельствует о слабой умеренной корреляции, рис. 2,в - о полной корреляции.

Рис. 2. Расположение точек на корреляционном поле:

а) корреляционная связь отсутствует;

б) слабая и умеренная корреляционная связь;

в) полная корреляционная связь

Численное значение корреляционной связи оценивается коэффициентом корреляции r.

Задачей регрессионного анализа является установление вида зависимости (1.2) (зависимости параметра оптимизации у от факториальных величин х₁, х₂…х_n). Указанная зависимость называется уравнением регрессии. Корреляционно-регрессионный анализ позволяет прогнозировать развитие рассматриваемого явления и решать задачу построения модели и ее оптимизации. Регрессионный анализ введен в практику расчетов английским математиком и механиком У.Р. Гамильтоном в 1840-х годах.

При проведении регрессионного анализа применяются понятия парных и множественных коэффициентов регрессии. На рис. 2 показано корреляционное поле парной линейной зависимости, отказов автомобилей в эксплуатации от числа капитальных ремонтов. Рассмотрение расположения точек на поле рис. 2 позволяет говорить о слабой корреляционной зависимости, разброс точек на рис. 2 примерно соответствует рис. 1,б. Из рис. 3 видно, что если для каждой величины х найти средние значения у и соединить эти точки, то получится ломанная линия, называемая опытной линией регрессии.

Рис. 3. Регрессионная зависимость числа отказов автомобилей в эксплуатации от числа капитальных ремонтов: 1-опытная; 2-теоритическая; •-точки опытных данных; □-средние арифметические числа отказов автомобилей по каждой группе

При парной зависимости опытная линия регрессии может быть аппроксимирована с помощью следующих функций:

у = а + b х – прямая линия;

у = а х² + b х + с – парабола второго порядка;

у = – гипербола;

у = а + b lg х – логарифмическая функция.

Используются также показательная и степенная функции, арифметическая и геометрическая прогрессии, алгебраический полином, тригонометрический ряд (ряд Фурье) и другие функции.

В общем случае для n переменных уравнение регрессии приобретает более сложный вид.

Модели линейного программирования в решении задач автомобильных перевозок основные понятия, графоаналитический и симплексный методы

Линейное программирование – это наиболее разработанный раздел математического программирования, с помощью которого выполняются анализ и решение экстремальных задач с линейными связями и ограничениями.

Линейное программирование включает в себя целый ряд эвристических (приближенных) методов решения, позволяющих при заданных условиях из всех возможных вариантов решений производственных задач выбрать наилучший, оптимальный. К этим методам относятся следующие – графический, симплексный, метод потенциалов (модифицированный распределительный метод – МОДИ), Хичкова, Креко, метод аппроксимации Фогеля и другие.

Часть этих методов объединяют общим названием - распределительный, или транспортный, метод.

На автомобильном транспорте методы линейного программирования используются с 1960-х годов для решения большого числа важнейших производственных задач, а именно: сокращение дальности перевозок грузов; составление оптимальной схемы перевозок; выбор кратчайших маршрутов движения; задачи перевозки разных, но взаимозаменяемых грузов; сменно-суточное планирование; планирование перевозок мелкопартионных грузов; распределение автобусов по маршрутам и другие.

Особенности модели линейного программирования заключаются в следующем:

- целевая функция и ограничения выражены линейными зависимостями (равенствами или неравенствами);

- число зависимостей всегда меньше числа неизвестных (условие неопределенности);

-неотрицательность искомых переменных. Общая форма записи модели линейного программирования в сокращенном виде выглядит следующим образом:

- найти х _ij ≥ 0 (j = 1, 2…n) при ограничениях следующего типа:

.

Эти ограничения минимизируют (или максимизируют) целевую функцию

min (max).

Графоаналитический метод – это один из простейших методов линейного программирования. Он наглядно раскрывает сущность линейного программирования, его геометрическую интерпретацию. Его недостаток в том, что он позволяет решать задачи с 2 или 3 неизвестными, т. е. применим для узкого круга задач. Метод основан на правилах аналитической геометрии.

Решение задачи с двумя переменными х₁ и х₂, которые по смыслу задачи не должны быть отрицательными, выполняется в системе декартовых координат. Уравнения х₁ =0 и х₂ = 0 являются осями системы координат первого квадранта (рис. 4).

Рис. 4. Графический метод решения задачи по перевозке изделий из пенобетона и стали на максимум прибыли

Симплексный метод – это распространенный метод решения задач линейного программирования. Свое название метод получил от слова «симплекс», обозначающего простейший выпуклый многоугольник, число вершин которого всегда на единицу больше, чем размерность пространства. Симплексный метод разработан в США математиком Дж. Данцигом в конце 1940-х годов.

Симплексный метод включает получение неотрицательного базисного решения системы канонических линейных уравнений, последующую минимизацию (максимизацию) целевой функции и нахождение таким способом оптимальных значений искомых переменных х₁, х_2… х_n.

Идея симплексного метода заключается в том, что в процессе вычисления последовательно переходят от первого базисного решения ко второму, третьему и т.д. с помощью так называемых симплексных преобразований. Преобразования производятся в форме симплексных таблиц, что значительно упрощает и ускоряет расчеты.

Чтобы получить неотрицательные базисные решения системы линейных уравнений, надо процесс исключения неизвестных вести так, чтобы свободные члены уравнений на всех этапах процесса оставались неотрицательными. При этом следует руководствоваться следующим правилом: в качестве новой базисной переменной принимается любая свободная

переменная, при которой есть хотя бы один положительный коэффициент; выводится из базиса переменная, которая соответствует наименьшему отношению свободных членов уравнений к соответствующим положительным коэффициентам уравнений при вводимой в базис переменной. Такие преобразования называются симплексными преобразователями.

Это очень важно, поскольку для нахождения частного неотрицательного решения, отвечающего наибольшему возможному значению какой-то одной свободной переменной при нулевых значениях других свободных переменных, вместо определения области изменения указанной переменной и подстановки ее наибольшего возможного значения в общее решение достаточно принять эту переменную за базисную и подвергнуть систему симплексному преобразованию, перейдя к новому базису, что значительно упрощает расчеты.

Вычисления удобно производить с помощью симплексных таблиц. Переход от одной таблицы к другой соответствует одной итерации, т. е. переходу от одного базиса к другому, при этом значение целевой функции уменьшается. За определенное число итераций переходят к базису, для которого получают оптимальное (минимальное или максимальное) значение целевой функции. Рассмотрим симплексный метод в общем виде.

Общая задача линейного программирования заключается в минимизации (максимизации) целевой функции, переменные которой связаны между собой системой линейных уравнений, подчинены условию неотрицательности.

Основные правила симплексного метода линейного программирования (при решении задачи на минимум):

1) систему ограничений задачи линейного программирования необходимо решить относительно какого-либо базиса. Выразить целевую функцию через свободные переменные;

2) составить симплексную таблицу. Если в индексной строке все элементы отрицательны, то базисное решение оптимально. Задача решена;

3) если в индексной строке симплекс-таблицы есть положительные элементы, то столбец, соответствующий минимальному из них, принимается за разрешающий. Составляются отношения элементов столбца свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Строка, соответствующая минимальному из этих отношений, является разрешающей. Элемент таблицы, находящийся на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим;

4) переходить к новому базису следует, исключая из старого базиса переменную, соответствующую разрешающей строке, вводя вместо нее переменную, которая соответствует разрешающему столбцу. Составляется новая симплекс-таблица, соответствующая новому базису.