Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях ФВ не измеряется непосредственно каким-
либо СИ, а рассчитывается на основе измерения других ФВ.
В этом случае встает задача вычисления погрешности косвенных
измерений при условии, что погрешности величин, полученных из прямых измерений, известны.

Пусть при косвенных измерениях значение некоторой величины Y
находят по формуле Y = f (X ₁, X ₂,…, X_m), где X ₁, X ₂,…, X_m – некоторые независимые величины. Для определения независимых величин X ₁, X ₂,…, X_m были выполнены серии по n прямых независимых измерений для каждой.

Среднее значение Y _ср искомой величины Y находят с помощью функциональной зависимости f (X ₁, X ₂,…, X_m), в которую подставляют средние значения независимых переменных X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp^}

Y _ср = f (X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp}).

Будем искать абсолютную погрешность Δ Y _ср искомой величины Y через погрешности измеренных величин, Δ X _2,cp,..., Δ X_{m, cp}.

Если с помощью известной функциональной зависимости Y = f (X ₁, X ₂,…, X_m) вычислить значение искомой величины Y при значениях измеряемых величин X ₁, X ₂,…, X_m, отличающихся от средних значений X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp} на Δ X _1,cp, Δ X _2,cp,..., Δ X_{m, cp} соответственно (X ₁= X _1,cp ± Δ X ₁; X ₂= X _2,cp ± Δ X ₂; …; X_m = X _m,cp ± Δ X_m), то рассчитанное таким образом значение Y будет отличаться от среднего значения Y _ср на некоторую величину± Δ Y:

Y _ср = f(X ₁= X _1,cp ± Δ X ₁; X ₂= X _2,cp ± Δ X ₂; …; X_m = X _m,cp ± Δ X_m).

Функцию в правой части представим в виде разложения в ряд, понимая, что Δ X_i< < X _I,cp:

где – частная производная функции f (X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp}) по X_i.

Принимая, что Y _ср = f (X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp}), получим:

Помня, что для любой нормально распределенной случайной величины среднее отклонение от истинного значения (при большом числе измерений n → ∞) равно нулю, определим средний квадрат отклонения Δ Y _ср². Для этого возведем в квадрат левую и правую части уравнения и
усредним по числу измерений (по серии измерений). Учитывая, что
среднее значение отклонений Δ X_i. от среднего значения Х _{i, ср} по количеству измерений , в правой части останутся только
квадратичные по Δ X_i слагаемые:

Тогда случайная погрешность (доверительный интервал) серии
косвенных измерений величины Y будет равна

или короче

Если функция = f (X ₁, X ₂,…, X_m) «неудобна» для дифференцирования, полученное выражение для Δ Y _ср можно записать иначе, воспользовавшись свойствами дифференцирования логарифма. Рассмотрим логарифм функциональной зависимости = f (X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp})

ln= f (X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp}).

По правилу вычисления производной логарифма можно показать, что

Учитывая, что Y _ср = f (X _1,cp, X _2,cp,…, X_{m, cp}), получим

Следовательно

Используя эту взаимосвязь между производной от функции и производной от ее логарифма, полученное ранее выражение для погрешности Δ Y _ср можно записать в виде:

или короче

Обе формулы справедливы при любых законах распределения величин
X ₁, X ₂,…, X_m. Необходимо только чтобы эти величины были не-
зависимыми.

Для определения относительной погрешности косвенных измерений рекомендуется следующая последовательность:

1. Прологарифмировать расчетную формулу.

2. Найти от логарифма полный дифференциал.

3. Сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал (если такие члены есть), и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по модулю.

4. Знак дифференциала d заменить на знак ошибки Δ.

5. Выбрать знаки так, чтобы относительная ошибка была максимальной.

Пример. Определить абсолютную и относительную погрешности косвенного измерения коэффициента вязкости касторового масла при температуре 25,5°С, определенного методом Стокса. Величина коэффициента вязкости в этом случае определяется формулой:

где r - радиус шарика, g - ускорение свободного падения, ρ - плотность свинца, ρ_о - плотность касторового масла, l - расстояние пройденное шариком, t - время движения шарика.

В результате измерений получают средние значения:

l = 0,75 м, измеренное с точностью до 0,005 м.

r = 2,0 · 10^-3 м, измеренное с точностью до 0,1·10^-4 м.

t = 5,96 с, измеренное с точностью до 0,01 с.

ρ - ρ_о = 10320 кг/м₃, измеренное с точностью до 0,5 кг/м³.

g = 9,8 м/с², измеренное с точностью до 0,05 м/с².

Обработка результатов измерений:

1. Определим коэффициент η вязкости

2. Логарифмируем формулу:

3. Дифференцируем полученное выражение:

4. Заменяем знак дифференциала d на знак приращения Δ и находим максимальную относительную погрешность:

Так как Δρ=Δρ₀

Подставляя численные значения, получим:

В процентах относительная погрешность составляет:

Максимально возможная абсолютная погрешность в определении η равна:

Результат измерений: