Вычисление определителей

Введение

Настоящая работа посвящена изучению методов решения следующих задач из курса линейной алгебры:

1. Вычисление определителей.

2. Нахождение ранга матрицы.

3. Нахождение обратной матрицы.

4. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений.

Для решения этих задач разработаны различные методы, но среди них особое место занимает метод элементарных преобразований строк и столбцов. Различными модификациями этого метода может быть решена каждая из перечисленных задач.

Обоснование решения указанных задач методом элементарных преобразований изложено в указанной ниже литературе..

Цель работы

1. Изучить метод элементарных преобразований строк и столбцов матрицы

2. Приобрести практические навыки в решении перечисленных задач.

Основные понятия и определения

Матрицей размера m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица

имеет k -упрощенный вид (k 0), если a ₁₁₌ a ₂₂₌ a _33=...= a_kk =1, а все

остальные элементы первых k столбцов равны 0.

В частности, квадратная матрица порядка n, имеющая n -упрощенный вид называется единичной.

Элементарными преобразованиями (ЭП) строк и столбцов матрицы называются следующие преобразования:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число.

4) перестановка столбцов;

5) умножение столбца на число, отличное от нуля;

6) прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторое число.

Основным звеном метода элементарных преобразований является переход от матрицы, имеющей k -упрощенный вид, к матрице, имеющей (k+ 1)-упрощенный вид.

Опишем этот переход подробнее.

Пусть матрица

имеет k -упрощенный вид.

Возможны три варианта:

1) a _{i j} = 0 для всех i>k,j>k. В этом случае перейти к матрице, имеющей (k+ 1)-упрощенный вид невозможно.

2) a _{k+ 1 k+ 1} отличен от 0. В этом случае умножаем (k+ 1)-ю строку на (a _{k+ 1 k +1}) ^–1 (или, говоря иначе, делим (k+ 1)-ю строку на

a _{k+ 1 k +1}). Затем для каждого i k+ 1 прибавляем к i -той строке (k+ 1) -ю строку, умноженную на (– a _{i k+ 1}). Полученная матрица имеет (k+ 1)-упрощенный вид.

3) a _{k+ 1 k+ 1} = 0, но существуют такие p >0, q >0, что a _{k+p k+q} отличен от 0. Переставляем (k+ 1)-ю строку с (k+p) -ой строкой, а затем переставляем (k+ 1)-ый столбец с (k+q)-ым столбцом, после чего получаем случай 2).

Теперь перейдем к рассмотрению решения указанных выше задач.

Вычисление определителей

При вычислении определителей разрешается применять все 6 видов преобразований. Следует иметь в виду, что:

1) при преобразованиях 1 и 4 определитель меняет знак;

2) при преобразованиях 2 и 5 значение определителя умножается на то число, на которое умножается строка или столбец;

3) при преобразованиях 3 и 6 определитель не изменяется.

Общая схема вычисления определителя такова:

1) Если все элементы первого столбца равны нулю, то определитель равен нулю и вычисление определителя заканчивается.

2) Если в первом столбце есть ненулевой элемент, то перестановкой строк его можно перенести в первую строку. При этом перед определителем меняется знак.

3) Если a ₁₁ не равен 0, то умножаем первую строку на (a ₁₁) ^{- 1}. При этом перед определителем пишем множитель a _11.

4) Для каждого i 1 прибавляем к i -той строке 1 -ю строку, умноженную на (– a _{i 1}). Полученная матрица имеет 1-упрощенный вид.

5) Разлагаем определитель по первой строке и сводим задачу к вычислению определителя матрицы меньшего порядка.

6) Повторяя шаги 1-5) несколько раз, мы сводим задачу к вычислению определителей 2 или 3 порядка, которые можно вычислить по известным формулам.

Пример. Вычислить определитель:

Решение: