Системы координат на плоскости. Понятие об уравнении линии на плоскости

П. 1. Декартовая система координат (ДСК)

Декартовая система координат (ДСК) на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных лучей – осей (Ох) и (Оy), одинаковой по обеим осям единицы масштаба и начала координат – точки О – точки пересечения осей.

Каждая точка М на плоскости (Оху) имеет координаты х и у и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

Определение. Уравнение F (x, y) = 0 определяет на плоскости (Оху) некоторую линию l, представляющую собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. И наоборот.

Таким образом, линия задается уравнением между координатами, и обратно.

Обычно уравнение разрешено относительно переменной y: y = f (x).

Примеры линий: y = x – уравнение прямой, x ² + y ² = 9 – уравнение окружности.

П. 2. Полярная система координат (ПСК)

Полярная система координат (ПСК) на плоскости определяется заданием некоторой точки О – полюса, луча (ОР) – полярной оси и единицы масштаба.

Положение любой точки М в ПСК характеризуется координатами ρ и φ и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

ρ – полярный радиус – расстояние от полюса О до точки М, причем ρ ≥ 0.

φ – полярный угол – угол, откладываемый от полярной оси против часовой стрелки до луча (ОМ), причем 0 ≤ φ ≤ 2π.

Связь декартовых координат с полярными.

Совместим системы координат так, чтобы ось (Ох) совпадала с полярной осью (ОР), а начало координат совпадало с полюсом.

Декартовые координаты точки М – х, у. Полярные координаты этой же точки – ρ, φ.

Из прямоугольного треугольника следует:

(1) (2)

(3)

определяет два угла: φ и φ + π, формулы (3) уточняют, какой из них рассматривать.

Определение. Уравнение Ф (ρ, φ) = 0 определяет на плоскости некоторую линию l, представляющую собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. И наоборот.

Обычно уравнение разрешено относительно переменной ρ: ρ = f (φ).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовой системе координат F (x, y) = 0 к ее полярному уравнению Ф (ρ, φ) = 0 нужно подставить вместо х и у формулы (1). Обратный переход от Ф (ρ, φ) = 0 к F (x, y) = 0 получается с помощью формул (2) и (3).

Пример 1. Найти полярное уравнение прямой х = 1.

Решение. х = 1 – уравнение прямой.

Пример 2. Найти декартовое уравнение кривой , построить ее в ПСК.