Перемещения и деформации. Закон Гука

При растяжении длина бруса увеличивается на Δl (при сжатии уменьшается на Δl), а поперечный размер d уменьшается на Δd (при сжатии увеличивается на Δd) (рисунок 113).

Рисунок 113

Δl – абсолютное удлинение бруса,

Δd – абсолютная поперечная деформация.

Относительная продольная деформация (относительное удлинение)

(74)

Относительная поперечная деформация .

Продольная и поперечная деформации пропорциональны друг другу.

- коэффициент Пуассона.

Для каждого материала он свой: для стали μ = 0,3; для пробки μ = 0; для резины μ = 0,5, т.е. .

В результате экспериментов выведена закономерность

(75) – закон Гука I или

В пределах упругости материала абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе N в сечении, его длине l и обратно пропорциональна площади поперечного сечения А и модулю продольной упругости Е.

Е [ ] – модуль продольной упругости материала, характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться растяжению и сжатию.

Для стали Е = 2 · 10⁵ Н/мм²;

для меди (бронзы) Е = 1 · 10⁵ Н/мм²;

для алюминиевых сплавов Е = 0,7 · 10⁵ Н/мм².

Преобразуем формулу (75), поделив обе части на l:

, т.е. или (76) - закон Гука II.

В пределах упругих деформаций нормальное напряжение σ в поперечном сечении прямо пропорционально относительной продольной деформации ε.

Закон Гука применим при , когда деформации упругие.

ЕА – называется жесткостью сечения бурса.

Для ступенчатого бруса (рисунок 114), состоящего из нескольких участков, удлинение можно определить, применив принцип независимости действия сил:

Рисунок 114

Пример 27. Определить удлинение стального ступенчатого бруса примера 26. Найти перемещение λ свободного конца бруса.

Решение

Определяем абсолютную деформацию бруса (удлинение или укорочение). В соответствии с законом Гука , где Е – модуль продольной упругости материала бруса.

Складывая удлинения участков, получим полную деформацию Δl (1м=1000мм).

Δ l = Δ l _I + Δ l _II + Δ l _III + Δ l _IV.

; ;

; ;

Δ l = 0,25 + 0,15 – 0,44 = -0,04 мм.

Брус укоротился на 0,04 мм.

Перемещение свободного конца бруса λ = Δ l = 0,04 мм. Свободный конец переместится на 0,04 мм в сторону от заделки.

Подумай и ответь на вопросы

58 Зависит ли удлинение бруса от его материала?

1) зависит; 2) не зависит.

59 Как изменится укорочение бруса при сжатии, если диаметр бруса увеличить в 2 раза?