Общая схема статистической проверки гипотез

1. Формулируется основная (нулевая) гипотеза H₀.

2. Выдвигается альтернативная (конкурирующая) гипотеза H _a (H₁).

3. Выбирается критерий проверки гипотез К и определяется его закон распределения при условии справедливости основной гипотезы H₀.

4. Назначается уровень значимости критерия (α) и устанавливается вид критической области (двусторонняя, правосторонняя, левосторонняя).

5. С помощью соответствующих таблиц находятся критические точки (двусторонние – правая и левая, правосторонняя, левосторонняя), разделяющие множество возможных значений критерия на критическую область и область допустимых значений (ОДЗ).

6. По реализации выборки вычисляется наблюдаемое значение критерия.

7. Применяется основной принцип статистической проверки гипотез: если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза H₀ отвергается; если же наблюдаемое значение критерия попадает в ОДЗ, то гипотеза H₀ принимается.

(X₁, X₂,…,X_n) – выборка объема n из генеральной совокупности X ~ N(m_x; σ_x); m_x^*, s ² - несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания и дисперсии случайной величины X; a ₀ – гипотетическое (предполагаемое) значение m_x.

H₀: m_x = a ₀.

При известном σ_x и справедливости H₀

- стандартное нормальное распределение.

При неизвестном σ_x и справедливости H₀

- распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы.

Плотности стандартного нормального распределения и распределение Стьюдента являются четными функциями, вследствие чего их графики в прямоугольной системе координат Oxy симметричны относительно оси Oy.

, – критические точки (правая и левая соответственно);

k _набл – наблюдаемое значение критерия, вычисляемое по выборке.

Критические точки стандартного нормального распределения определяются по уровню значимости α с помощью функции Лапласа Ф(х) – таблица приложения 2 в [1]:

1)для двусторонней критической области (H _a: m_x ≠ a ₀) из уравнения

находят k_кр, имея в виду, что = k _кр, = - k _кр ;

если | k_набл | ≥ k_кр, то гипотеза H₀ отвергается;

2)для правосторонней критической области (H _a: m_x > a ₀) находят из уравнения

если k_набл ≥ , то гипотеза H₀ отвергается;

3)для левосторонней критической области (H _a: m_x < a ₀) определяют так: сначала, как в 2)находят , а затем полагают = - ; если k_набл ≤ , то гипотеза H₀ отвергается.

Критические точки распределения Стьюдента определяются по таблице приложения 6 в [1] по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n – 1, где n – объем выборки:

1)для двусторонней критической области (H _a: m_x ≠ a ₀) используют верхнюю строку таблицы - <уровень значимости α (двусторонняя критическая область)> - и находят k_кр, имея ввиду, что = k_кр, = - k_кр; если | k_набл | ≥ k_кр, то гипотеза H₀ отвергается;

2)для правосторонней критической области (H _a: m_x > a ₀) используют нижнюю строку таблицы - <уровень значимости α (односторонняя критическая область)> - и находят ; если k_набл ≥ , то гипотеза H₀ отвергается;

3)для левосторонней критической области (H _a: m_x < a ₀) определяют так: сначала, как в 2)находят , а затем полагают = - ; если k_набл ≤ , то гипотеза H₀ отвергается.

Вопросы для самопроверки:

1. Что понимается под статистической гипотезой?

2. Какие ошибки могут быть совершены при статисти­ческой проверке гипотез?

3. Как выбираются основная и конкурирующая гипотезы?

4. Каким требованиям должен удовлетворять критерий проверки гипотез?

5. Какова роль уровня значимости критерия проверки гипо­тез?

6. Что такое критическая область значений критерия?

7. Какими могут быть критические области?

8. Как определяются критические точки?

9. В чём состоит основной принцип статистической провер­ки гипотез?

10. Какова общая схема статистической проверки гипотез?

11. Что понимается под мощностью критерия проверки гипотез?

12. Как проверяется гипотеза о числовом значении неизвестного математического ожидания нормально распределен­ной случайной величины при известной и неизвестной
дисперсии этой величины?

Задача 9

По выборке объема n = 16 из генеральной совокупности X ~ 16 (m_x; 3) вычислена оценка m_x ^*= 49. Требуется при уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: m_x = a ₀ = 50 при альтернативной гипотезе H _a: m_x < 50.

Решение

1.H₀: m_x = a ₀ = 50.

2.H _a: m_x < 50.

3.Так как выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с известным σ_х (σ_х = 3), то в качестве критерия проверки гипотез выберем

-стандартное нормальное распределение. Заметим, что это имеет место при условии справедливости нулевой гипотезы H₀.

4.По виду H₀, H _a, K заключаем, что критическая область в данном случае будет левосторонней.

5.Левую критическую точку определим так: сначала при уровне значимости α = 0,01 из уравнения

по таблице приложения 2 в [1] найдем ; после этого положим = - . Получим:

6. Вычислим наблюдаемое значение критерия К:

7. Так как k_набл > (k_набл = -1,33; = -2,33), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀: m_x = 50. Она принимается.

Задача 10

По выборке объема n = 17 из генеральной совокупности X ~ 16 (m_x; σ_х) вычислены оценки m_x ^* = 82 и s ² = 16. Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу
H₀: m_x = a ₀ = 80 при альтернативной гипотезе H _a: m_x > 80.

Решение

1. H₀: m_x = a ₀ = 80.

2. H _a: m_x > 80.

3. Так как выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с неизвестными m_x и σ_х, то в качестве критерия проверки гипотез выберем

- распределение Стьюдента с степенями свободы. Заметим, что это имеет место при условии справедливости нулевой гипотезы Н_о.

4. По виду Н₀, Н_a и К заключаем, что критическая область в данном случае будет правосторонней.

5. Правую критическую точку определим по таблице кри­тических точек распределения Стьюдента из приложении 6 в [1] по уровню значимости и числу степеней свободы . При этом используем ниж­нюю строку таблицы <уровень значимости (односторонняя критическая область)>. Получим .

6. Вычислим наблюдаемое значение критерия К:

7. Так как , то гипотеза отвергается.