Пояснение 2.1

Итак, согласно приведённой формулировке одиннадцатой аксиомы – прямые пересекающие некоторую под разными (внешним и внутренним ∠1 ≠ ∠2) углами – пересекаются и между собой.

Докажем теперь, на основании одиннадцатой и девятой аксиомы Евклида[41], что они пересекаются с той стороны с которой внешний угол больше внутреннего. Пусть, некоторую прямую c пересекают прямые CEиDFпод разными углами ∠2 >∠1 (как показано на следующем рисунке).

Проведём теперь через точку А–прямую (а). (под тем же углом к прямой (с),что и прямая DF– как показано на рисунке)Тогда прямые (а)иDF параллельны. Теперь согласно девятой аксиоме Евклида, прямая CE не может пересечь прямую DF, продолжаясь в сторону AC. Действительно тогда бы она (прямая CE ) пересекла бы прямую (а) ещё в одной точке, что невозможно. Значит поскольку прямая CE пересекает прямую DF (одиннадцатая аксиома), то она пересекает её продолжаясь в сторону AE. Значит прямые пересекающие некоторую под разными (внешним и внутреннем) углами, пересекаются с той стороны с которой внешний угол больше внутреннего.