Решение. а)Найдем частные производные первого порядка

а) Найдем частные производные первого порядка. Частную производную по переменной х находим, считая y=const, аналогично по переменной y.

;

Приравняем полученные выражения к нулю, найдем критические точки.

,

, .

Две стационарные точки .

Найдем частные производные второго порядка:

.

Исследуем точку

Вычислим значения частных производных второго порядка в этой точке:

Тогда в точке экстремума нет.

Аналогично исследуем точку :

Тогда в точке экстремум существует.

Так как , то точка - точка ,

.

б) Если уравнение поверхности задано в виде , то уравнение касательной и нормали соответственно имеют вид:

- касательная - нормаль

В пункте а) были найдены частные производные:

;

Вычислим их значение в точке M₀ (1; - 2):

Значение z₀ найдем, подставив в функцию z(x;y) координаты точки М₀:

z₀ = 1 – 8 + 30 = 23

Запишем уравнение касательной к данной поверхности:

уравнение касательной.

Уравнение нормали имеет вид:

в) Если функция дифференцируема в точке М₀ , то производная по направлению вычисляется по следующей формуле:

.

Производная по направлению характеризуетскорость изменения функции в точке в направлении вектора .

Из векторной алгебры известно, что и есть направляющие косинусы вектора , поэтому если , то

; .

Найдем направляющие косинусы вектора .

Тогда производная по направлению будет равна:

Так как полученное значение отрицательное, то в направлении данного вектора функция z(x; y) убывает.