Примеры. 64.Время ожидания поезда распределено равномерно в интервале [0,5] (мин.)

64. Время ожидания поезда распределено равномерно в интервале [0,5] (мин.).

Найти плотность вероятности времени ожидания, функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность того, что ожидающий будет ждать поезд не более трёх минут.

Решение. при ; при ; при .

при ; при ; при .

; .

65. Вероятность того, что во время лекции преподаватель объяснит дополнительный материал, равна 0,01. Определить среднее время лекций без дополнительного материала и вероятность того, что в течение пяти «пар» преподаватель ни разу не изложит его.

Решение. мин, при этом по времени 5 учебных «пар» равны 400мин.

Тогда, .

66. Количество слов и выражений в лексикологической программе компьютера подчинено закону нормального распределения со средним значением равным 500 и средним отклонением – 36.

Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина имеет в памяти от 400 до 550 слов и выражений.

Решение. , ,

.

67. Ведутся испытания новейшей ракеты. Ошибка наведения – случайная величина, нормально распределённая с параметрами и м.

Найти вероятность того, что наведение произведено:

а) с ошибкой, не превышающей 8 м;

б) с ошибкой меньше 5 м.

Решение.

а) .

б) .

68. Вследствие некачественной установки операционной системы в работе компьютера случаются «зависания» этой системы. Допустим, что 3 часа – это время работы компьютера до первого «зависания», а среднее число неисправностей за сутки равно 8. Работа до «зависания» распределена по показательному закону: , . При этом на перегрузку системы достаточно 0,5 часа, после чего компьютер работает до «зависания».

Найти вероятность того, что промежуток времени между двумя «зависаниями» больше пяти часов.

Решение. -промежуток времени равен трём. Случайная величина распределена по показательному закону и плотность вероятности для нее имеет вид: при ; при .

Тогда функция распределения имеет вид:

при ; при .

Искомую вероятность того, что промежуток между двумя «зависания» будет больше пяти часов при условии, что перегрузка длится 0,5 часа, вычисляется по формуле:

, откуда .

Т.о. вероятность очень мала.

69. при и при .

Найти параметр а, все характеристики случайной величины Х, .

Решение. Для нахождения параметра a воспользуемся следующим свойством плотности распределения :

. Откуда .

Таким образом, при и при .

; .

.

70. Затаривание мешков с сахаром произведено без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением г.

Найти вероятность того, что затаривание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 100 г.

Решение. В задаче рассматривается случайная величина Х – ошибка взвешивания, a – математическое ожидание, нормативное значение веса мешка сахара.

Требуется найти:

.

71. Время ожидания автобуса Х измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0;30]. Определить среднее время ожидания автобуса, дисперсию и вероятность того, что ждать придется не более 10 минут.

Решение. оценивается по формуле ; (мин).

оценивается по формуле ;

.

72. Интенсивность отказов прибора . Оценить среднюю наработку на отказ T и вероятность безотказной работы в течение 500 часов.

Решение. Х – время поступления первого отказа.

Тогда, ; ; ; ч. – средняя наработка на отказ.

Вероятность безотказной работы в течение 500 часов:

.