Лекция №3. Квантование в цифровых системах

Содержание лекции: способы квантования чисел, источники ошибок квантования, шум квантования входного сигнала, собственный и полный выходной шум системы, шумовые характеристики.

Цель лекции: изучить способы квантования чисел,уметь оценивать шум квантования входного сигнала, собственный и полный шум цифровой системы и ее характеристики.

В цифровых системах обработки сигналов отсчеты обрабатываемого сигнала , , коэффициенты разностного уравнения или передаточных функций, а также результаты выполнения арифметических операций в сумматорах и умножителях представляются b -разрядными двоичными числами в соответствии с разрядностью регистров, ячеек памяти и операционных устройств. Такое приближенное представление чисел называют квантованием. Квантование – нелинейная операция, поэтому при ее введении в алгоритм обработки сигнала, который описывается линейным дискретным уравнением, возникают ошибки в реализации алгоритма. Такие ошибки называются ошибками квантования.

Квантование числа – это его представление с помощью конечного количества (b) значащих разрядов. С учетом знакового разряда разрядность числа определяется как . Нелинейность операции квантования вносит в представление квантуемого числа А ошибку

, (3.1)

где А – двоичное число до квантования;

F(A) – число после квантования.

Шагом квантования называется расстояние между двумя соседними уровнями квантования при Шаг квантования определяется весом младшего значащего разряда: .

В цифровой обработке рассматриваются только числа, по модулю не превосходящие единицу

. (3.2)

При квантовании используются два способа приближения чисел: округление и усечение. В случае округления выбирается ближайший уровень квантования, при этом исходное k -разрядное число (k > b) заменяется до ближайшего b -разрядного и ошибка округления не превосходит половины шага квантования

. (3.3)

При усечении k -разрядного числа до b значащих разрядов (k > b) младшие (k - b) разряды исходного числа отбрасываются. Ошибка усечения меньше шага квантования, но больше ошибки округления

< . (3.4)

В связи с этим в аналого-цифровых преобразователях и в цифровых процессорах обработки сигналов обычно применяется округление.

Источниками ошибок квантования являются:

а) аналого-цифровое преобразование (АЦП), при котором квантуются дискретные сигналы;

б) арифметические операции с цифровым сигналом ;

в) квантование коэффициентов цифровой системы.

В дальнейшем вместо термина «ошибка квантования» будет использоваться термин «шум квантования».

Линейные модели процессов аналого-цифрового преобразования и умножения (с конечным числом разрядов) и шумом идентичны, их свойства описываются одинаковыми выражениями для математического ожидания и дисперсии ошибок квантования, поэтому

; , (3.5)

где и - шумы АЦП и умножителя соответственно.

Для оценки влияния квантования входного сигнала (шум АЦП) на выходной шум цифровой цепи полагаем, что коэффициенты и арифметические операции реализуются точно. Выходной шум, как реакция дискретной цепи, имеющей импульсную характеристику h(к), на шум АЦП определяется по формуле

. (3.6)

Дисперсия составляющей выходного шума, обусловленной АЦП

(3.7)

Шум на выходе цифровой цепи имеет еще одну составляющую, обусловленную квантованием результатов умножения (собственный шум).

Дисперсия шума квантования на выходе цифровой цепи первого порядка определяются с учетом этой составляющей

(3.8)

где - максимальное значение ошибки составляющей выходного собственного шума;

- дисперсия составляющей выходного собственного шума;

h(k) - импульсная характеристика цепи первого порядка;

L - количество умножителей.

Дисперсия выходного шума звена второго порядка для всех i = 1,2,…,L определяется следующей формулой

(3.9)

где - импульсная характеристика цепи второго порядка.

- импульсная характеристика от выхода i – го умножителя до выхода цепи.

Важными шумовыми характеристиками цифровой системы являются отношение сигнал/шум и ее динамический диапазон.

Отношение сигнал/шум – это отношение мощности выходного сигнала системы к мощности шума на выходе системы

[дБ]. (3.10)

Динамический диапазон – это отношение максимальной амплитуды к минимальной амплитуде входного сигнала, при которой обеспечивается определенное отношение сигнала на выходе системы

[дБ], (3.11)

при

[дБ], (3.12)

где - мощность выходного сигнала на нижней границе динамического диапазона (при амплитуде входного сигнала ).

Динамический диапазон следует контролировать введением коэффициентов масштабирования.