НАО «Алматинский университет энергетики и связи» , 2012 г

Лекция №1. Основные понятия и математические соотношения цифровой обработки сигналов

Содержание лекции: цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры, дискретные сигналы, нормирование, z – преобразование, его основные свойства, спектр дискретных сигналов.

Цель лекции: ознакомиться с направлением развития цифровой обработки сигналов, изучить типовые дискретные сигналы, приемы нормирования дискретных сигналов, методы z – преобразования и преобразования Фурье.

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) в основном базируется на применении сигнальных процессоров (СП) для обработки типовых задач в реальном масштабе времени, применяемых в системах телекоммуникаций (включая глобальную сеть Internet), управления, мультимедиа, медицины и многих других.

Цифровые системы по сравнению с аналоговыми обладают рядом таких преимуществ, как высокая степень микроминиатюризации аппаратуры, высокая точность, помехозащищенность и стабильность характеристик.

ЦОС имеет дело с цифровыми сигналами, происходящими из дискретных сигналов, которые дискретны по времени и непрерывны по состоянию. Они описываются решетчатой функцией , где - номер отсчета 0,1,2,3…, интервал Т – период дискретизации, а обратная величина Т - частота дискретизации Цифровые сигналы в отличии от дискретных сигналов дискретны не только по времени, но и по состоянию, они могут принимать только конечное число значений из некоторого конечного интервала. Эти значения называются уровнями квантования, а соответствующие функции – квантованными.

При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормированным временем Таким образом, номер отсчета дискретного сигнала может интерпретироваться как нормированное время.

При изучении цифровых цепей в качестве испытательных воздействий чаще других используются два дискретных сигнала:

1) цифровой единичный импульс, который показан на рисунке 1,а и математически представлен соотношением

где

2) цифровой единичный скачок, показан на рисунке 1,б и представлен математическим соотношением

где

-1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3

| | | | | | | |

а) б)

Рисунок 1

К типовым дискретным сигналам относятся также экспонента, гармонический сигнал и комплексный гармонический сигнал [ 1 ].

По теореме Котельникова максимальная частота аналогового сигнала не должна превышать половины частоты дискретизации , поэтому в частотной области все дискретные сигналы целесообразно рассматривать в диапазоне , где - частота Найквиста. Это позволяет ввести понятие нормированной частоты где - текущая частота. Тогда на частоте Найквиста . Таким образом, дискретный сигнал можно рассматривать в основном частотном диапазоне .

Для нормированной круговой частоты , то есть основная полоса частот соответствует области

Полезным методом описания дискретных систем является - преобразование, которое оказывается наглядной и удобной формой представления процессов, протекающих при цифровой обработке.

Прямое - преобразование определяет - образ дискретной последовательности следующим соотношением

. (1.1)

Дискретный сигнал называется оригиналом, а функция - изображением (Z –образ). Аргумент функции является комплексной величиной или в полярных координатах где а . Комплексная функция F(z) определена лишь для тех значений , при которых ряд (1.1) сходится. Условием сходимости ряда (1.1) является

< ∞. (1.2)

Обратное Z–преобразование решает задачу восстановления оригинала по известному изображению, используя следующее соотношение

(1.3)

где С – контур сходимости охватывающий начало координат - плоскости.

Такой интеграл решить сложно, поэтому существуют более простые способы нахождения обратного - преобразования: с использованием таблицы соответствия, на основании теоремы Коши о вычетах или разложением изображения на простые дроби [ 1 ].

Основные свойства - преобразования сводятся к следующему:

1) Линейность. Если и - решетчатые функции, а и - постоянные действительные коэффициенты, то

(1.4)

2) Сдвиг последовательности (задержка). Если последовательность имеет - преобразование , то задержанная на интервалов последовательность , имеет - преобразование

(1.5)

3) Свертка последовательностей. Если последовательности и имеют - преобразования и , то последовательность , представляющая собой свертку исходных последовательностей , имеет - преобразование

Для описания дискретных сигналов в частотной области используется спектр, который связан с дискретным сигналом парой преобразований Фурье. Спектром или фурье-изображением дискретного сигнала называют прямое преобразование Фурье дискретной последовательности

, (1.6)

где - оригинал (дискретная последовательность).

Обратное преобразование Фурье для дискретной последовательности

. (1.7)

При сравнении формул (1.6) и (1.1) можно увидеть, что преобразование Фурье представляет собой частный случай z – преобразования:

.

Свойства спектра дискретного сигнала следуют из свойств z-преобразования [ 2 ].