Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности

Нестационарная теплопроводность в твердых телах, которые не имеют внутренних источников тепла, описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных:

, (2.77)

где t – температура в точке тела с прямоугольными координатами x, y, z в момент времени t.

Коэффициент температуропроводности a характеризует скорость распространения изменения температуры в теле. Он связан с другими физическими параметрами вещества тела соотношением:

, (2.78)

где l – коэффициент теплопроводности материала, Вт/(м×К); c – удельная теплоемкость материала, Дж/(кг·К); r – плотность материала, кг/м³.

Условия однозначности решения уравнения (2.77) включают в себя:

а) геометрические условия, которые характеризуют форму и размеры тела;

б) физические условия, которые характеризуют физические параметры материала (l, c, r, a);

в) начальные условия, которые характеризуют распределение температур в теле в начальный момент времени;

г) предельные условия, которые задают закономерности теплообмена на границе тела.

Различают три рода граничных условий:

1) на границе тела заданная его температура – граничная задача 1-го рода.

(2.79)

Здесь и дальше значок указывает, что значения величины берется на границе тела.

2) задан поток тепла на границе – граничная задача 2-го рода. Математически она выражается соотношением

, (2.80)

Здесь q – заданная функция, нормальная к граничной поверхности компонента удельного теплового потока, а – составной градиент температуры по нормали к поверхности тела (напоминаем, что в теле в соответствии с уравнением Фурье удельный тепловой поток равняется q = – l grad t).

3) поток тепла на границе тела задается законом Ньютона-Рихмана с известным коэффициентом теплоотдачи (a) и заданной температурой среды t_f, которая омывает тело – это граничная задача 3-го рода. В этом случае температура тела близ его границы удовлетворяет условию

(2.81)

При a¤l ® ¥, задача 3-го рода переходит в задачу 1-го рода, в которой температура на границе t_w совпадает с температурой внешней среды t_f.

При весьма небольших значениях времени t на вид решения существенным образом влияют начальные условия – значения температурного поля в начальный момент времени (t = 0).

Дифференциальное уравнение (2.77) решено точно только для тел простой геометрической формы (плоская стенка, полуограниченное тело, цилиндр) при стационарных граничных условиях, а также при изменении температуры среды по линейному или экспоненциальному законам. При этом считается, что физические параметры тела не зависят от температуры.