Решить следующие задачи методами дифференциального исчисления

271. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?

272. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

273. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

274. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

275. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара с радиусом R

276. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

277. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом Периметр окна равен а При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

278. В точках А и В находятся источники света силы соответственно F1 и F2. Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М.

Замечание: освещенность точки источником света силы F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света E=kF/r2, k = const.

279. Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание: сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х ее поперечного сечения на квадрат его высоты: , k = const.

280. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p1 руб., а стенок – р2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

Указание: рекомендуется принять за аргумент отношение радиуса r дна бака к его высоте h (λ = h/r),