Креслення двох точок

Уявіть собі в просторі дві співпадаючі точки А і В. Однойменні проекції цих точок на будь-якій площині проекцій також збігається одна з одною. Потім, залишивши нерухомою точку А, почнемо переміщати точку В у будь-якому напрямку. Якщо рух точки В здійснювати уздовж проекціюючого променя на яку-небудь основну площину проекцій, то на ній проекції точок будуть залишатися сполученими у відмінності від зображень на інших площинах.

У загальному випадку, коли рух обраний довільно, одержимо картину, представлену на рис. 1.22, причому, положення точки В відносно точки А виражається термінами, наведеними на рисунку. Так, точка В перебуває праворуч, далі й вище точки А. Нагадаємо, що в загальноприйнятій системі проектування об'єкт перебуває між спостерігачем і площиною проекцій, а взаємне розташування об'єктів оцінюється з погляду спостерігача.

Відстань між двома точками в загальному випадку є відрізком, довільно розташованим у просторі, але його можна розкласти на три взаємно перпендикулярні складові, паралельні площинам проекцій, і виразити числами (рис. 1.23): точка В перебуває справа від точки А на 40 мм, далі на 30 мм і вище на 20 мм.

Таким чином, крім координат, що задають положення об'єкта стосовно точки простору, називаної початком координат, можна встановити координати об'єкта щодо будь-якої точки простору. Такі координати називають відносними.

Представимо, що точки А і В є протилежними вершинами прямокутного паралелепіпеда, який розташований так, що його ребра паралельні площинам проекцій. Тоді зазначені на рис. 1.23 числа будуть лінійними розмірами цього багатогранника (рис. 1.24).

Отже, положення однієї точки стосовно іншої може бути виражене якісно (ближче – далі, вище – нижче, зліва – справа), або кількісно – числами на розмірних лініях, розташованих паралельно площинам проекцій.

◊ На яких площинах проекцій зображення двох точок будуть збігатися, якщо точки розташовані на одній вертикальній лінії?

◊ Яка із запропонованих на кресленні пар точок збігається в просторі?

◊ Яка із точок на кресленні – А або В розташована ближче?

◊ Яка із точок на кресленні – Е або F розташована нижче?

◊ Дана точка А (30, 30, 10). Побудувати точку В, їй симетричну, щодо площини, що проходить через вісь s₁₂ під кутом 45° до П₁.

1.8 Креслення відрізка прямої

Відомо, що пряма лінія в просторі визначається положенням двох її точок (рис. 1.25). Тому, для завдання прямої на кресленні досить зобразити ці точки і їхні однойменні проекції з'єднати відрізками прямих ліній (рис. 1.26).

На цьому кресленні пряма задана відрізком, обмеженим точками А і В. У деяких випадках точок на прямій не показують і вважають її необмеженою (рис. 1.27). Перейти від цього способу завдання до завдання відрізком не важко, а оскільки на кресленнях деталей відрізки прямих мають кінцеву довжину, у цьому курсі їм буде віддана перевага.

Якщо на кресленні задано два зображення відрізка прямої, то побудова будь-якого іншого його зображення, у тому числі й додаткового, зводиться до вже відомих побудов відповідних проекцій точок.

Приклад. Задано горизонтальну й фронтальну проекції відрізка АВ (рис. 1.28). Побудувати вид знизу цього відрізка.

1. Спочатку варто провести вісь проекцій s₂₅, що фіксує положення площини проекцій П₅. Вона буде розташовуватися паралельно осі s₁₂. Якщо відстань між площинами П₁ і П₅ не обговорено, відстань між осями вибирають з умови компактності креслення.

2. З фронтальних проекцій А₂ і В₂ точок проводять лінії зв'язку, перпендикулярні осі, і на них відкладають відстані, рівні відстані від цих точок до площини П₂.

3. Отримані проекції А₅ і В₅ з'єднують відрізком, що і є проекцією відрізка АВ на площину П₅.

На безосному кресленні будь-яке зображення прямої по двох заданих можна побудувати, використовуючи різницю однойменних координат двох точок на цій прямій. Так, для того, щоб побудувати вид справа по фронтальній і горизонтальній проекціях відрізка прямої, необхідно (рис. 1.29):

- на горизонтальній лінії зв'язку, що проходить через А₂, у довільному місці ліворуч від неї відзначити положення А₄;

- точку В₄ відзначити на лінії зв'язку, що проходить через В₂ на відстані Δ від точки А₄ у горизонтальному напрямку;

- точки А₄ і В₄ з'єднати відрізком прямої.

Цей спосіб більш точний у порівнянні з іншими, використається в практиці виконання технічних креслень тому, що вимагає менше вимірів.

Пряма щодо площин проекцій може займати різні положення. Вона може бути паралельною яким-небудь площинам проекцій, перпендикулярною або займати довільне положення.

Очевидно, що якщо пряма паралельна площині проекцій, то всі точки на ній відстоять від цієї площини на рівних відстанях. Отже, різниця відстаней до площини двох довільно взятих точок на прямій буде дорівнювати нулю. Цю обставину зручно використовувати для встановлення положення прямої.

На рис. 1.30 зображені дві проекції відрізка прямої із вказівкою величин різниці однойменних координат точок А і В по широті (ΔХ), глибині (ΔY) і висоті (ΔZ). Їхні значення не дорівнюють нулю, отже, пряма АВ не паралельна ні однієї з основних площин проекцій. Таку пряму називають прямою загального положення. Розташовуючись до площин проекцій під довільними кутами, відрізок такої прямої проектується на ці площини спотворено. Тому, проекції відрізка прямої загального положення на основних площинах проекцій не містять своєї істинної довжини. Спотворено проектуються й кути нахилу цієї прямої до площин проекцій. Докладніше про це буде далі.

На прямі, що розташовуються паралельно або перпендикулярно основним площинам проекцій, варто звернути особливу увагу, тому що на кресленнях деталей, вивчення яких є нашою основною метою, ребра багатогранників найчастіше займають саме таке положення.

Прямою рівня називають пряму, яка розташована паралельно будь-якої основної площини проекцій, тобто різниця відстаней від двох точок на прямій до цієї площини дорівнює нулю. На таку площину відрізок прямої проекціюється в натуральну величину. Без спотворень проекціюються і кути нахилу його до інших основних площин проекцій. На рис. 1.31 представлена піраміда SABC, всі ребра якої займають особливе положення: ребро АС розташовано паралельно горизонтальної площини проекцій, AS – фронтальної, SC – профільної.

Положення проекціюючих прямих збігається з напрямками проектування на основні площини проекцій, тому вони зображуються точками (слід-проекція) на площини, яким перпендикулярні, а на всі інші – неспотворено. На розглянутій піраміді таких ребер також три: СВ розташовується перпендикулярно фронтальної, АВ – профільної, а SB – горизонтальної площинам проекцій. Загальноприйняті назви всіх розглянутих прямих і їхніх характеристик наведені в таблиці 1. Для зручності, розташування відрізків і їхні літерні позначення у таблиці відповідає розташуванню й позначенню ребер піраміди на рис. 1.31.

Таблиця 1

Зображення відрізка прямої	Назва прямої	Координати, різниця яких дорівнює нулю	Площини, на які відрізок прямої зображується не спотворено	Площини, кути нахилу до яких зображуються наспотворено
А2 С2 A1   С1	Горизонтальна пряма	DZ	П1, П5	П2, П3, П4, П6
S2   A2 A1 S1	Фронтальна пряма	DY	П2, П6	П1, П3, П4, П5
S2 S3     С2 C3	Профільна пряма	DX	П3, П4	П1, П2, П5, П6
S2 В2 S1 = В1	Горизонтально-проекціююча пряма	DY, DX	П2, П3, П4, П6	BS^П1, П5 = 90°
В2 = С2 С1   В1	Фронтально-проекціююча пряма	DX, DZ	П1, П3, П4, П5	CB^П2, П6= 90°
A3 = В3 А2 В2	Профільно-проекціююча пряма	DY, DZ	П1, П2, П5, П6	AS^П3, П4 = 90°

◊ Яка з координат не змінює свого числового значення для будь-якої точки на прямій, паралельній площині проекцій П₃?

◊ Уявіть собі куб, грані якого розташовуються паралельно площинам проекцій. Дайте назви всім ребрам цього куба відповідно до таблиці 1.

◊ Проаналізуйте положення ребер похилої призми, представленої на рисунку, і назвіть їх.

1.9 Розміри на кресленнях

По зображеннях предмета на кресленні можна представити його форму і візуально визначити розташування щодо площин проекцій. Але основою для визначення дійсної величини зображеного предмета або його елементів служать розміри, числові значення яких не залежать від прийнятого на кресленні масштабу.

Розміри бувають лінійними й кутовими. Лінійні визначають довжину предмета, його висоту, діаметр циліндричного елемента, радіус закруглення і таке інше. Кутові визначають кути між ребрами, ребром і гранню, двома гранями. На кресленнях вони вказуються числовими величинами і розмірними лініями, за правилами, викладеними у стандартах. Важливо знати, що чисельні значення розмірів установлюють безпосереднім виміром предмета, якщо він реально існує. У більшості випадків конструкція предмета тільки розробляється, вона існує лише в уяві конструктора, тому всі виміри виконують безпосередньо по кресленню.

Відзначимо правило: виміри й нанесення розмірів на кресленнях виконують лише на тих зображеннях предмета, які при проектуванні не піддалися спотворенню.

Крім безсумнівних зручностей у роботі, це дозволяє візуально оцінювати технічну доцільність конструкції окремих елементів і предмета в цілому (пропорційність, міцність, працездатність і т.д..). Надалі, вже при виготовленні, ніяких вимірів на кресленні не роблять, тут основою для виконання виробничих операцій над заготівкою майбутньої деталі є числові значення розмірів. У завдання курсу, паралельно з розглядом особливостей проектування геометричних образів, їхніх сукупностей, а так само реальних і уявних предметів, входить також розгляд способів побудов їхніх неспотворених зображень як бази для нанесення розмірів.

Повертаючись до проекціювання прямої, відзначимо, що на зображеннях відрізка прямої загального положення неможливо нанести ні лінійного розміру його довжини, ні кутових розмірів його нахилу до площин проекцій. Тому, завжди прагнуть до того, щоб відрізки прямих, що входять до складу предмета у вигляді ребер, на кресленні займали б особливе положення. Очевидно, що розмір довжини відрізка прямої особливого положення, може бути нанесений на тій площині проекцій, якій цей відрізок паралельний, тут же можуть бути нанесені і кути нахилу до інших площин проекцій.

На рис. 1.32 лінійний розмір, приміром, ребра АС можна вказати тільки на виді зверху, АS – на виді спереду. Довжину ребра SB, а він розташований паралельно водночас фронтальній і профільній площинам проекцій, можна указати і на головному зображенні і на виді зліва. На кресленні можна також указати кут нахилу ребра АС до фронтальної площини проекцій, а ребра SC – до горизонтальної і т.д.

Якщо виникає необхідність указати довжину відрізка загального положення або його кут нахилу до якої-небудь основної площини проекцій, можна скористатися проектуванням на додаткову площину проекцій. Для цього додаткову площину варто розташувати паралельно відрізку і перпендикулярно тієї основної площини проекцій, неспотворений кут нахилу до якої необхідно одержати.

На рис.1.33 додаткова площина П₇ перпендикулярна до площини П₁ і паралельна відрізку АВ. Відклавши по лініях зв'язку від осі s₁₇ відрізки, рівні висотним координатам точок А и В (виділеною площиною є П₁, відстань до виділеної площини – координата Z), одержимо істинну довжину відрізка й кут його нахилу до горизонтальної площини проекцій.

◊ Як визначити істинну величину відрізка прямої?

◊ На кресленні піраміди нанесіть (де це можливо) розміри довжин ребер і їхні кути нахилу до площин проекцій.

◊ На прямих m, n і p (див. рис.) від точки А відкладіть відрізок довжиною 30 мм і нанесіть цей розмір на кресленнях.

1.10 Креслення ліній

В інженерній графіці лінію прийнято розглядати як результат взаємного перетину площин або поверхонь, або як безперервну сукупність послідовних положень точки, що рухається у просторі за деяким законом.

Пряма лінія утворюється при прямолінійному русі точки. При криволінійному русі точки в одній площині утвориться плоска крива лінія. Просторову криву лінію, на відміну від плоскої, не можна розмістити всіма її точками в одній площині.

З попереднього відомо, що для побудови креслення прямої достатньо побудувати креслення двох її точок. Креслення кривої лінії вимагає в загалі побудови значно більшої кількості точок і від їхньої кількості залежить наскільки точним буде креслення кривої.

Існує велика кількість плоских кривих. У короткому курсі інженерної графіки розглядаються лише окружність, еліпс, гіпербола, парабола, тому що їх можна одержати при перерізах поверхонь площинами і взаємним перетином поверхонь. Крива лінія в загальному випадку проекціюється на площину проекцій у криву. Якщо площина, в якій лежить плоска крива, перпендикулярна до площини проекцій, то на таку площину ця крива зображується прямою лінією, тобто слідом-проекцією площини.

Окружність – замкнута плоска крива другого порядку, всі точки якої перебувають на одному видаленні від її центра. Проекціями окружності, залежно від умов проекціювання, можуть бути: окружність того ж діаметра, відрізок прямої, що дорівнює діаметру, еліпс. На рис. 1.34 площина, у якій лежить ок ружність, розташована паралельно до горизонтальної площини проекцій, тому на цю площину вона проекціюється не викривлено, а на фронтальну площину проекцій – у вигляді відрізка (слід-проекція). Очевидно, що в цьому випадку окружність займає положення лінії рівня. Якщо тепер цю окружність нахилити до горизонтальної площини проекцій, то вона на цю площину зобразиться у вигляді еліпса, більша вісь якого буде дорівнює діаметру окружності, а величина малої осі буде залежати від величини кута нахилу площини окружності до П₁.

Еліпс – замкнута плоска крива другого порядку, для якої сума відстаней від будь-якої її точки до двох точок – фокусів є постійна величина, що рівняється великої осі еліпса.

Існують кілька способів побудови еліпса. Звичайно, його будують по великій ОА і малій ОВ півосях (рис. 1.35), на яких, як на радіусах, наносять дві окружності і ділять їх на частини. Через точки ділення великої окружності проводять прямі, паралельні малій осі еліпса, а через точки розподілу малої окружності – прямі, паралельні великій осі еліпса. Точки перетину цих прямих і будуть точками еліпса.

У курсі інженерної графіки частіше використаються проекційні методи побудови еліпсів і їхніх частин. На рис. 1.36 для побудови еліпса на горизонтальній площині проекцій використані точки окружності, у яку він проекціюється на додатковій площині проекцій П₇. При побудові точок еліпса, для фіксації відстаней можуть бути використані як осі проекцій, так і вісь симетрії окружності.

Циліндрична гвинтова лінія – просторова крива, що представляє собою траєкторію точки, що бере участь у двох рівномірних рухах: обертальному навколо деякої осі і поступальному уздовж цієї осі. Відстань Р, на яке переміститься точка уздовж осі за повний оборот називається кроком гвинтової лінії.

Для побудови проекцій гвинтової лінії, при заданих діаметрі, кроці і напрямку навивки, необхідно розділити окружність і крок на рівне число частин. Побудова проекцій точок гвинтової лінії видно із креслення на рис. 1.37. Напрямок навивки буває правим (див. рисунок) і лівим. Розгортка циліндричної гвинтової лінії на площині являє собою пряму лінію з кутом нахилу α, де tgα = p/πd, що дорівнює куту підйома гвинтової лінії.

◊ Чим розрізняються між собою плоскі і просторові криві лінії?

◊ Які параметри визначають циліндричну гвинтову лінію?

1.11 Взаємне положення точки і прямої

Точка може належати прямій або розташовуватися в просторі поза цією прямою. Якщо точка належить прямій, то на кресленні її проекції належать однойменним проекціям прямої. Аналізуючи рисунок (рис. 1.38), де зображена пряма m і ряд точок, відповідно до визначення, дійдемо висновку, що лише точка D належить прямій m. Для точок В і С має місце лише випадковий збіг окремих координат із координатами точок на прямій. Звичайно, для аналізу взаємного положення точки і прямої необхідні їхні зображення на двох площинах проекцій. Якщо пряма займає положення прямої рівня можлива ситуація, коли положення точки відносно прямої проглядається лише на площині проекцій, паралельній цій прямій. Зрівняйте два креслення (рис. 1.39 а, б), де зображено один і той же відрізок АВ профільної прямої і точка К, що не належить до цього відрізка.

Положення точки щодо відрізка прямої рівня у випадку, якщо немає його зображення на паралельну площину проекцій, можна встановити, показавши графічно, що проекції цієї точки не ділять (або ділять) проекції відрізка в тому ж самому відношенні.

Для цього, з кінця відрізка на будь-якій проекції, наприклад, із точки А₄ (рис. 1.40), проводять лінію під довільним кутом і на ній від цієї точки відкладають відрізки А₄К' = А₂К₂ і К'В'= К₂В₂. Точку В' з'єднують із В₄, а через точку К' проводять лінію, паралельну В'В₄. Ця лінія не проходить через проекцію К₄ точки К, отже, точка К не належить відрізку АВ горизонтальної прямої. Висновок, що на рис. 1.39, б очевидний, зажадав допоміжних побудов на рис. 1.40. Отже: вибір тієї або іншої сукупності зображень предмета істотно впливає на трудомісткість виготовлення креслення й зручності при його читанні. До цього висновку ми будемо повертатися й підкріплювати його іншими прикладами.

На відміну від раніше розглянутих прикладів, належність точки до проекціюючої прямої необмеженої довжини, на кресленні може бути встановлена всього з однієї її проекції. Це виходе з того, що, де б не розташовувалася точка на проекціюючій прямій, її проекція буде збігатися з однойменним слідом-проекцією цієї прямої (рис. 1.41). Ця особлива властивість точки, що належить до проекціюючої прямої, є ключем до рішення багатьох завдань інженерної графіки: точка належить до проекціюючої прямої, якщо її проекція належить до відповідного сліда-проекції цієї прямої.

Коли точка не лежить на прямої, часто виникає завдання визначення відстані між цими елементами. Відомо, що відстань від точки до прямої визначається перпендикуляром, опущеним із точки на пряму, а для того, щоб цей перпендикуляр проектувався на яку-небудь площину проекцій неспотворено, він повинен розташовуватися їй паралельно. Таким чином, якщо на кресленні необхідно мати неспотворену відстань між точкою і прямою, то ця обставина накладає конкретні вимоги до їхнього розташування стосовно площин проекцій. Таких варіантів роз ташування не багато, вони наведені на рис. 1.42 а, б, в. У перших двох випадках відстанню служить відрізок горизонтальної прямої, у третьому – відрізок фронтально-проекціюючої прямої. Усі ці відрізки зображуються неспотворено на горизонтальній площині проекцій, тому розміри виставлені саме на цій площині.

На рис. 1.42 г наведено більш складний для розуміння випадок розташування точки і прямої. Тут пряма g займає в площині положення лінії найбільшого нахилу, яку вона і задає разом із точкою D. Тільки в цьому випадку лінія, що визначає відстань від точки до площини буде займати положення лінії рівня. До розгляду цього випадку рекомендуємо повернутися після вивчення розділу 1.15.

Якщо перпендикуляр, проведений з точки до прямої, не є відрізком прямої особливого положення, відстань від точки до прямої можна знайти на додатковій площині, розташувавши її так, щоб привести креслення до одного з варіантів, наведених на рис. 1.42.

На рис. 1.43 пряма f може бути зображена в точку на додатковій площині проекцій П₇, проведеної перпендикулярно цієї лінії і фронтальній площині проекцій.

◊ Дана точка, що належить прямій рівня. Дайте визначення приналежності точки прямої для цього випадку.

◊ На горизонтальній і фронтальній площинах проекцій накресліть відрізок профільної прямої і довільну точку, проекції якої не лежать на лінії зв'язку, що з'єднуе проекції прямої. Чи можна на кресленні указати відстань між цими елементами, або для цього будуть потрібні додаткові побудови? При необхідності проробіть такі побудови.

◊ На продовженні прямої АВ знайдіть точку, що належить горизонтальній площині проекцій (рис. 1.33).