Донецьк ДонНТУ 2005

УДК 515.2

Нарисна геометрія та інженерна графіка /Автор: О. О. Лопатов. - Донецьк: ДонНТУ, 2005. – 102 с.

Подано повний курс лекцій з нарисної геометрії та інженерної графіки, що викладається студентам у потоках немашинобудівельних груп ДонНТУ

Автор: О.О. Лопатов, проф.

Рецензент: А. Ф. Коломієць, проф.

Відп. за видання: І. А. Скідан, проф.

ã О. О. Лопатов

ВСТУП

Будь-яка виробнича діяльність у розвиненому суспільстві неможлива без створення, нагромадження й перетворення великих масивів різноманітної інформації. У цих потоках, зокрема, циркулює велика кількість графічної інформації, тобто відомостей про форму і розміри різних предметів, пристроїв, споруджень, які необхідно виготовити, відремонтувати, модернізувати і т.д. Носіями цієї інформації найчастіше виступають креслення, але можуть бути і текстові повідомлення, що містять описи предметів, їхні фотографічні зображення, комп'ютерні графічні файли і т.д.

Серед цих і інших носіїв графічної інформації особливе місце займає креслення, як найбільш ефективний засіб зберігання й пред'явлення інформації про форму просторових об'єктів. Воно має незаперечні переваги у компактності, зручності сприйняття при читанні, простоті внесення змін. Але його виготовлення жадає від виконавця глибоких і різнобічних знань. З однієї сторони – це знання геометричних побудов у просторі, з іншої – знання нормативного характеру, адже у кресленні зосереджений величезний досвід практичної роботи конструкторів, відображений у численних документах, які називають стандартами.

Останнім часом використання персональних комп'ютерів кардинально змінило підхід до техніки виготовлення креслень, скасувавши традиційні креслярські інструменти, дозволило автоматизувати велику кількість рутинних операцій при виготовленні креслення, наприклад, виконання написів, нанесення розмірів, штрихування і т.д., але істотно не торкнулося основного змісту розглянутих нижче знань, котрі як і раніше є базовими для вивчення наступних дисциплін у технічному вузі і забезпечують графічну підготовку майбутніх фахівців.

Якщо порівнювати шкільний курс геометрії і теоретичну частину запропонованого курсу, то можна бачити, що обидві дисципліни розглядають ті ж самі об'єкти: точку, пряму, плоску фігуру і т.д., і їхні відносини між собою (знаходження загальних елементів, визначення відстаней, кутів і інше). Основною відмінністю між ними є те, що в геометрії на площині розташовуються самі об'єкти, а в інженерній графіці - їхні зображення, одержувані за певними правилами, тоді як самі об'єкти перебувають у просторі, а вся робота з ними ведеться на основі цих плоских зображень.

Цілі курсу. У результаті вивчення курсу інженерної графіки студент повинен:

- самостійно застосовувати придбані знання й навички для уявного відтворення просторових образів предметів і передачі їхньої форми й розмірів у загальноприйнятих системах відображення графічної інформації;

- засвоїти основи термінології технічної мови, словниковий запас якої надалі буде поповнюватися при вивченні інших технічних дисциплін.

Дисципліна має фундаментальне значення для технічної освіти, тому що тільки тут, за допомогою спеціальної системи вправ, розвивається вміння представити просторову форму предмета, що є необхідною передумовою будь-якої інженерної діяльності.

Розглянутий конспект лекцій розрахований на викладення курсу на другому і третьому рівні графічної підготовки. Наприкінці кожного розділу наведені контрольні питання й завдання для самоперевірки засвоєння навчального матеріала під символом ◊.

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ПОБУДОВИ КРЕСЛЕНЬ

У результаті вивчення розділу студент повинен усвідомлено застосовувати проекційний апарат для зображення найпростіших геометричних об'єктів і їхніх сполучень на площинах проекцій, а також визначати їхні метричні характеристики.

1.1 Геометричні образи простору

До геометричних образів простору відносять точку, лінію (пряму і криву), площину й поверхню. За допомогою цих образів одержують найпростіші геометричні тіла (рис. 1.1), з яких надалі створюють більш складні об'єкти простору (моделі, предмети). Залежно від призначення образи можуть мати й інші назви (див. у дужках).

У першому розділі більшість креслень разом із зображеннями геометричних образів містять і літерні позначки (символізоване креслення). Це істотно полегшує сприйняття зображень і створення їхніх уявних образів. Надалі, при переході до креслень моделей і реальних предметів, потреба в літерних позначеннях відпадає.

На символізованих кресленнях точки прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту (A,B,С..) або арабськими цифрами (1, 2, 3...), лінії – малими літерами латинського алфавіту (а, b, c...), площини й поверхні – прописними буквами грецького алфавіту (Σ, Δ, Ψ...).

1.2 Метод проекцій

Зображення предметів тривимірного простору одержують методом проекціювання. Апарат проекціювання містить у собі проекціюючий промінь SA, об'єкт проекціювання А і площину проекцій П₁, на якій одержують зображення об'єкта А₁ (рис. 1.2).

Усі промені, що проекціюють об'єкт, виходять з однієї точки, яку називають центром проекцій. Якщо ця точка перебуває на кінцевій відстані від площини проекцій, то таке проекціювання називають центральним (рис. 1.3). Центральна проекція лежить в основі побудови перспективних зображень, які широко застосовують в архітектурі. Центральною проекцією є також фотографія.

Якщо центр проекцій віддалити у нескінченність, то всі проекціюючі промені стають паралельними між собою і таке проекціювання називають паралельним. У цьому випадку на кресленні замість центра проекцій задають напрямок проекціювання S (рис. 1.4).

При проекціюванні сукупність проекціюючих променів, які проходять через усі точки деякої просторової лінії, утворюють різні проекціюючі поверхні. Якщо проекціювати пряму, то це буде площина (рис. 1.4), ламану - поверхня призми (рис. 1.5), криву лінію - циліндрична поверхня (рис. 1.6).

У випадку, якщо розташування прямої у просторі збігається з направленням проекціювання, то пряма на площині проекцій зобразиться точкою. Іноді таке зображення називають вироджуваним, тому що відбувається різка видозміна зображення, а, отже, і його властивостей (про це нижче).

Паралельне проектування буде косокутним, якщо проеціюючі промені не перпендикулярні до площини проекцій, і прямокутним (ортогональним), якщо проекціюючі промені перпендикулярні до площини проекцій (S ^ П). У техніці в переважній більшості графічних документів використовують прямокутне проекціювання.

У пропонованому курсі також використаний цей вид проекціювання, тобто проекціюючий промінь розташовується перпендикулярно до площини проекцій, тому вказувати напрямок проекціювання S при заданій площині проекцій не має сенсу.

Ортогональним проекціям властиві всі властивості паралельних проекцій (див. нижче), крім того, при прямокутному проекціюванні проекція відрізка дорівнює або є менша самого відрізка, тому що відрізок у просторі є гіпотенузою прямокутного трикутника, а його проекція катетом (рис. 1.7).

◊ Перелічіть назви елементів, що використовуються в апараті паралельного проекціювання.

◊ Які поверхні можуть бути створені проекціюючими променями?

◊ У просторі розташований довільний трикутник АВС. Вершини А і В розташовані на одному проекціюючому промені до площини проекцій. Як зобразиться трикутник АВС на цю площину?

1.3 Деякі властивості паралельного прекціювання

1. Проекція точки є точка. При заданому напрямку проекціювання, точці А простору на площині проекцій відповідає єдина точка А₁. Вона виникає в результаті перетинання проекціюючого променя з цією площиною. Проекція точки, що безпосередньо лежить у площині проекцій, збігається із самою точкою.

2. Проекція прямої лінії є пряма. На рис. 1.4 площина, що складається із проекціюючих променів, перетинає площину проекцій П₁ по лінії m₁, що є проекцією лінії m на цю площину. В особливому випадку, коли напрямок проекціювання і розташування прямої збігаються, проекцією прямої є точка.

3. Проекції паралельних прямих паралельні або збігаються. Це виникає з того, що площини, які проекціюють дані прямі m і n, паралельні (рис. 1.8) і, отже, площина проекцій П₁ перетинає їх по паралельним між собою прямим m₁ і n₁. В особливому випадку, якщо паралельні прямі лежать в одній проекціюючій площині, їхні проекції збігаються. Паралельні прямі, положення яких у просторі збігається з напрямком проеціювання, зображуються точками.

4. Відношення відрізків прямих дорівнює відношенню їхніх проекцій, тому що паралельні між собою промені АА₁, ВВ₁ і СС₁ (рис. 1.9) ділять прямі АС і А₁С₁ на пропорційні частини, тобто АВ/ВС = А₁B₁/B₁C₁.

Підкреслимо ще раз: ці властивості дійсні в тому випадку, якщо розглянуті прямі щодо площини проекцій займають довільне положення. Але прямі, площини і деякі поверхні (див. вище) можуть розташовуватися і так, що будуть збігатися з напрямком проекціювання на площину проекцій. У цьому випадку проекціями прямих будуть точки, а площин і поверхонь - їхні лінії перетину із площиною проекцій. Такі вироджувані проекції формотворчих елементів мають винятково велике значення й одержали назву слідів-проекцій.

◊ Перелічіть основні властивості проекцій.

◊ Чи спроекціюється в натуральну величину відстань між двома прямими на площину проекцій, якщо положення однієї прямої збігається з напрямком проектування на цю площину, а другої – довільне?

1.4 Оборотність зображень

Як ми вже відзначали, проекціюючи предмет на яку-небудь площину проекцій можна одержати його зображення. Але прочитати таке зображення, тобто однозначно визначити положення предмета в просторі (рис. 1.10) або його форму (рис. 1.11) неможливо, тому що невідомо на яку відстань вилучені всі його точки від площини проекцій або взаємне розташування окремих елементів предмета в цьому напрямку. Через це одному зображенню може відповідати безліч предметів у просторі. У таких випадках говорять про необоротність зображення, тому що з нього неможливо відтворити оригінал.

Для виключення подібної невизначеності, зображення предмета доповнюють необхідними даними.

У курсі розглядаються зображення, які одержують ортогональним проекціюванням на дві або більше взаємно перпендикулярні площини проекцій.

Сукупність зв'язаних між собою зображень об'єкта, що дозволяють, використовуючи знання апарата проекціювання, відобразити у просторі положення і форму цього об'єкта, а так само показати його метричні характеристики, називають кресленням.

Замітимо, що при використанні на кресленні наявних у стандартах знаків і символів, можна зменшити кількість зображень предмета. На рис. 1.12 показане креслення валика, що містить лише одне зображення і знак, що вказує на циліндричность його форми.

◊ Як досягається оборотність креслення?

◊ Чи можна за допомогою однієї проекції однозначно відобразити сферичну поверхню, указавши на кресленні знак Ø і числове значення її діаметра?

1.5 Зображення точки на кресленні

Отже, креслення будь-якого предмета, у тому числі й точки, складається із двох або більше зв'язаних між собою ортогональних проекцій. Ці проекції одержують на взаємно перпендикулярних площинах проекцій.

Одну із площин розташовують горизонтально, називають гори-зонтальною площиною проекцій і позначають П₁ (рис. 1.13, а). Проекції елементів простору на ній називають горизонтальними проекціями і позначають відповідною буквою або цифрою (див. 1.1) з додаванням підрядкового індексу 1.

Другу площину проекцій розташовують перед спостерігачем вертикально, називають фронтальною площиною проекцій, позначають П₂, а проекції на ній називають фронтальними проекціями і позначають так само, але з додаванням підрядкового індексу 2.

Площини проекцій П₁ і П₂ взаємно перпендикулярні, їхню лінію перетину називають віссю проекцій, будемо позначати рядковою латинською буквою s із указівкоюю праворуч унизу індексів площин проекцій, у цьому випадку – s₁₂.

При ортогональному проектуванні точки А на ці площини проекцій, виникають взаємно перпендикулярні промені АА₁ і АА₂, які в просторі створюють площину S, перпендикулярну до обох площин проекцій. Ця площина перетинає площини проекцій по лініях, що проходять через точки А₁ і А₂.

Для того щоб одержати плоске креслення, горизонтальну площину проекцій П₁ сполучають із фронтальною П₂ обертанням навколо осі s₁₂. Тоді обидві проекції точки виявляться на одній лінії, перпендикулярній осі s₁₂, що називають вертикальною лінією зв'язку (рис. 1.13, б).

Дві ортогональні проекції А₁ і А₂ точки А однозначно визначають її положення щодо площин проекцій П₁ і П₂. В исотою (Z) точки буде відрізок АА₂, а глибиною (Y) - АА₁. Ці відстані називають координатами. Вони існують на кресленні як відрізки вертикальної лінії зв'язку, що дозволяє легко реконструювати креслення, тобто визначити положення точки щодо площин проекцій. Для цього досить у точки А₂ відновити перпендикуляр до площини креслення, довжиною, рівній довжині відрізка АА₁. Кінець цього перпендикуляра визначить положення точки А щодо площин проекцій (рис. 1.14).

Третю координату точки зручніше розглянути при введенні ще однієї площини проекцій.

Розглянемо можливі випадки розташування точок щодо двох площин проекцій. Якщо обидві координати не дорівнюють нулю, то точка перебуває у просторі між площинами П₁ і П₂ (рис. 1.13, в). Якщо одна з координат приймає нульове значення, то точка виявляється у площині проекцій, а її креслення здобуває вигляд (рис. 1.15, а, при Y_А =0; рис. 1.15, б, при Z_В =0). Якщо обидві координати приймають нульове значення, проекції точки розташовуються на осі проекцій (рис. 1.15, в).

Відзначимо одне важливе положення. Якщо є креслення точки або іншого предмета на двох площинах проекцій (метрично визначене креслення), то побудовами можна отримати зображення цього предмета на будь-якій іншій площині проекцій.

Уведемо ще одну площину – П₃ і розташуємо її праворуч від спостерігача перпендикулярно одночасно горизонтальній і фронтальній площинам проекцій (рис. 1.16, а). Така площина одержала назву профільної площини проекцій, а відстань від точки А до цієї площини (відрізок АА₃) - широти (X) точки А. Профільна проекція А₃ точки А виявиться пов'язаною із фронтальною проекцією А₂ горизонтальною лінією зв'язку, а нова вісь проекцій, між площинами П₂ і П₃ – s₂₃, розташується вертикально. Тому що глибина точки Y_A = АА₁ проектується без спотворення і на площину П₁ і на П₃, то це дозволяє побудувати профільну проекцію А₃ по двох наявних. Для цього необхідно виміряти глибину точки і відкласти її по горизонтальній лінії зв'язку від осі s₂₃ (рис. 1.16, б).

Хоча, підкреслимо ще раз, символізовані зображення (проекції) будь-якого предмета на двох площинах проекцій цілком визначають його форму і розташування в просторі, на практиці використовують значно більшу кількість площин проекцій. Це зв'язано з однозначним представленням форми предмета по не символізованому кресленню і зручністю розміщення великої кількості числової інформації на зображеннях.

За основні площини проекцій приймають шість граней прямокутного паралелепіпеда (куба), усередині якого розташовують зображуваний об'єкт (рис. 1.17, a). Грані під номерами 1, 2 і 3 відповідають горизонтальній, фронтальній і профільній площинам проекцій. При використанні координат ці грані зв'язуються з об'єктом, тоді як положення інших не залежить від координат і вони можуть бути взяті ближче або далі від цього об'єкта, що, звичайно, не позначається на складі зображень. Для одержання креслення, грані куба із зображеннями, сполучають із площиною під номером 2 (рис. 1.7, б). При цьому, грань під номером 6 допускається розташовувати і поруч із гранню під номером 4.

До тепер зображення точки називали проекцією. Надалі цей термін буде збережений, але, зважаючи на те, що крім трьох наведених зображень використаються й інші, введено поняття вид.

Видом називають зображення повернутої до спостерігача видимої частини поверхні предмета.

По змісту види розділяють на основні, додаткові й місцеві. ГОСТ 2.305-68 установлює наступні назви основних видів, одержуваних на основних площинах проекцій (див. рис. 1.7, б):

1. Вид зверху (горизонтальна проекція);

2. Вид спереду, головний вид (фронтальна проекція);

3. Вид зліва (профільна проекція);

4. Вид справа;

5. Вид знизу;

6. Вид ззаду.

Головний вид повинен містити найбільше відомостей про зображуваний предмет, тому він завжди присутній на кресленні. Наявність інших видів диктується необхідністю одержання повної й безпомилкової інформації про предмет.

При досліджуваному тут методі одержання зображень можна по різному розташувати друг щодо друга три "основні дійові особи" процесу проектування: спостерігач, предмет, площина проекцій і від цього одержати різне розташування видів, а так само, їх склад. У нашій країні прийнята наступна схема їхнього розташування: спостерігач перебуває перед об'єктом проекціювання, а площина проекцій – за цим об'єктом. Цим і пояснюється прийнята схема розташування основних видів щодо головного (рис. 1.17, б).

Описаний спосіб одержання зображень легко сприймається при одержанні виду спереду. При одержанні будь-якого іншого виду можуть виникнути труднощі психологічного характеру. Наприклад, для одержання вида знизу, спостерігач повинен в уяві розташуватися нижче предмета і проекціювати його на площину, що розташовується над предметом. Подібні уявні операції вимагають вправ. Про це варто пам'ятати і при читанні креслення, коли з плоских зображень предмета необхідно відновити його форму й положення у просторі.

Звичайно, поняття вид для найпростіших геометричних образів, особливо для точки, не може бути застосований повною мірою, тому що вона не має форми. З іншого боку, на прикладі точки зручніше й простіше вивчати розташування зображень на всіх основних площинах проекцій. Ці міркування, а так само збереження прийнятої послідовності викладення, з'явилося визначальною при виборі місця розміщення цього учбового матеріалу.

Як приклад, побудуємо зображення точки А на площині проекцій П₄ (вид справа) (рис. 1.18, а), проекцію точки B на площині проекцій П₅ (вид знизу) (рис. 1.18, б) і проекцію точки С на площині проекцій П₆ (вид ззаду) (рис. 1.18, в). У всіх випадках на кресленні спочатку є два зображення точки на площинах проекцій П₁ і П₂. Помітимо, що порядок виконання побудов не залежить від того, на якій площині проекцій це відбувається.

Поняття "вісь проекцій" варто розглядати глибше чим просто лінію, що виникла в результаті перетинання площин проекцій. Для пояснення повернемося до моделі двох площин проекцій і деякої просторової точки А, розміщених на рис. 1.13, а.

При проекціюванні точки А на площину П₂, разом із цією точкою у тому ж напрямку проекціюється й площина П₁. Її зображенням буде лінія, що збігається з віссю s₁₂. Позначимо цю лінію в такий спосіб: (П₁)₂ – фронтальна проекція площини П₁.

При проекціюванні точки А на горизонтальну площину проекцій, одержимо зображення фронтальної площини проекцій на площину П₁ – (П₂)₁, що так само буде збігатися з віссю. Такий додатковий запис приведено на кресленні точки D (рис. 1.18, г).

З наступних розділів Ви довідаєтеся, що відстань від точки до площини на кресленні можна вказати або виміряти, тільки в тому випадку, якщо площина на якій-небудь площині проекцій зобразиться в лінію. Тепер повинне бути зрозуміло, чому, приміром, глибину точки D відміряють від осі до точки D₁. Насправді неспотворене значення широти точки визначається відстанню від горизонтальної проекції фронтальної площини проекцій (П₂)₁ до горизонтальної ж проекції точки D (D₁).

Зробимо деякі узагальнення:

- за основні площини проекцій приймають грані прямокутного паралелепіпеда, а його ребра на кресленні є осями проекцій;

- зображення на основних площинах проекцій розташовуються в певних, відведених кожному, місцях стосовно головного виду, що завжди є присутнім на кресленні;

- осі проекцій (ребра паралелепіпеда!) завжди розташовуються, або паралельно, або перпендикулярно один до одного;

- осі проекцій позначають рядковою латинською літерою, наприклад, s із указівкою підрядкових символів тих площин проекцій, які її утворюють;

- лінії зв'язку між проекціями розташовують перпендикулярно відповідним осям (використається прямокутне проектування!);

- увівши вісь проекцій і, провівши лінію зв'язку від якої-небудь проекції точки, тим самим виділяють одну площину проекцій з тих, що є на кресленні;

- нову проекцію точки розташовують від нової осі на відстані, рівній відстані до виділеної площини проекцій.

На рис. 1.18, а для побудови виду справа провели вісь s₂₄ і лінію зв'язку, перпендикулярну цієї осі. Виділеною площиною проекцій є фронтальна площина проекцій, тому, від осі s₂₄ по лінії зв'язку відкладена глибина точки А, як відстань до фронтальної площини проекцій.

Ще одне зауваження, що буде використано надалі. Наявність на кресленні осей говорить про фіксації об'єкта проектування відносно площин проекцій. Однак, при паралельному переносі площин проекцій, зображення об'єкта на них не будуть змінюватися, а зміниться лише відстань від площини до цього об'єкта, що, найчастіше, не має ніякого значення. На кресленнях моделей або деталей осі проекцій часто заміняють осями симетрії зображень. Площини проекцій у цьому випадку сполучаються із площинами симетрії зображуваного предмета. Це рятує креслення від непотрібних ліній і створює певні зручності в роботі. В інженерній практиці використається і безвісне креслення, коли базами відліку при побудовах є елементи самої деталі.

◊ Як називають відстані до площин проекцій П₁, П₂ і П₃?

◊ Яку мінімальну кількість зображень може містити креслення?

◊ Скільки основних площин проекцій можна використати для побудови креслення?

◊ Яка із запропонованих на кресленні точок лежить у фронтальній площині проекцій?

◊ Яка із запропонованих на кресленні точок найбільш вилучена від горизонтальної площини проекцій?

◊ Дана точка А с координатами: широта 10 мм, глибина 20 мм і висота 30 мм. Побудуйте її види спереду й справа, прийнявши відстань між площинами П₃ і П₄ рівним 50 мм.

◊ Чим буде відрізнятися вид ззаду від представленого на кресленні моделі виду спереду?

1.6 Додаткові зображення

Додаткове зображення (додатковий вид, додаткова проекція) одержують проектуванням об'єкта на додаткову площину проекцій, не паралельну основним площинам проекцій. Як правило, цю площину розташовують перпендикулярно однієї з основних площин проекцій.

Необхідність у такому зображенні виникає в тому випадку, якщо якусь частину предмета неможливо зобразити без спотворення форми й розмірів на основних площинах проекцій.

Розглянемо систему із двох основних площин проекцій П₁ і П₂ з уведеною додатковою площиною П₇. Ця площина, розташована перпендикулярно П₁, не паралельна П₂ і при перетині з горизонтальною площиною проекцій утворить вісь s₁₇ (рис. 1.19, а). Підстава перпендикуля ра А₇, опущеного з точки А на площину П₇, є додатковою проекцією цієї точки.

На кресленні (рис. 1.19, б) положення площини П₇ задають віссю s₁₇. Побудова додаткової проекції А₇ здійснюється у такій послідовності. З горизонтальної проекції А₁ точки А опускають перпендикуляр на вісь s₁₇ (ортогональне проектування!) і на його продовженні відкладають відрізок, що дорівнює відстані від точки А до горизонтальної площини проекцій.

Очевидно, що проектування на додаткову площину проекцій можна здійснити, маючи креслення будь-яких двох проекційно зв’язаних між собою проекцій точки. Наприклад, на рис. 1.20 показана побудова додаткової проекції А₇ точки А на площині П₇, перпендикулярної П₆, коли задані проекції точки на площинах П₃ і П₆ (види злыва і ззаду).

На рис. 1.21 показане застосування додаткового виду при виконанні креслення пластини. Пластина конструктивно виконана вигнутої, тому, якщо одну її частину, наприклад, ліву розташувати паралельно площині П₁ або будь-якій іншій основній площині проекцій, то друга половина не може бути зображена на цій площині без спотворення форми.

На кресленнях показана побудова додаткової проекції А₇ деякої точки А, що належить поверхні пластини. В одному випадку (рис. 1.21, а) вимір координати глибини цієї точки виконувався від осі проекцій s₁₂, у другому (рис. 1.21, б) – від осі симетрії виду зверху. Обидва способи рівноцінні, але другий не вимагає вказівки на кресленні осей проекцій. Спотворені проектуванням частини зображень пластини на виді зверху й додатковому виді не показані. Це звичайний спосіб забирати із креслення непотрібну інформацію. Надалі будуть показані способи побудови додаткових видів без збереження проекційних зв'язків між зображеннями.

Зробимо узагальнення:

- проектування на додаткову площину застосовують у тому випадку, якщо на основних площинах проекцій не можна неспотворено передати форму й розміри якої-небудь частини предмета;

- положення додаткової площини вибирають, розташувавши її перпендикулярно до однієї із присутніх на кресленні площин проекцій (виділена площина). Вісь проекцій між цими площинами може бути розташована під будь-яким кутом, але не горизонтально і не вертикально;

- для побудови додаткової проекції точки, від уведеної нової осі по лінії зв'язку відкладають відстань, яка рівняється відстані точки до виділеної площини.

◊ В яких випадках використають додаткові види?

◊ Чи може додаткова площина бути паралельною основній площині проекцій.

◊ Побудуйте точку А с координатами X= 30 мм, Y= 20 мм, Z =10 мм на площинах проекцій П₁ і П₂ і додатковій площині П₇. П₇ займає положення, перпендикулярне фронтальній площині проекцій, нахилена під кутом 30° до горизонтальної площини проекцій і проходить через точку А.