Представление чисел в формате с плавающей точкой

Для расширения диапазона рассматриваемых чисел по сравнению с естественной формой чисел используется формат с плавающей точкой или нормальная форма. Любое число в этом формате представляется, как А= ±m_aE^±Pа,

где m_a - мантисса числа А; Е – основание системы счисления; ±Р_а- порядок. Все эти величины – двоичные числа без знака. На рис. 2 приведен формат числа в нормальной форме. Старший разряд (нулевой) содержит знак мантиссы, первый разряд – знак порядка, 6 разрядов, со второго по седьмой, определяют значение порядка, а остальные – мантиссу. Нормальная форма может быть представлена коротким форматом Е (4 байта), длинным форматом D (8 байт) и повышенной точности (16 байт). Во всех этих формах представления первый байт остается постоянным, изменяется только область, отведенная под мантиссу.

Знак m_a Знак Р_а Порядок Мантисса

Знак ma

Знак Ра

Ра

ma

0 1 2 … 7 8 31

Рис. 2. Нормальная форма числа

При таком представлении чисел 0 может быть записан 64 разными способами, т.к. для этого подходят любые значения порядков 0*2⁰=0*2¹=…=0*2⁶³. А другие числа могут иметь много различных форм записи. Например, 1536₁₀=3*2⁹=6*2⁸=…=768*2¹.

Для однозначного представления чисел мантиссу нормализуют, т.е. накладывают ограничение 1/Е≤m<1.

Это ограничение означает, что мантисса представляет собой правильную дробь и содержит хотя бы одну значащую цифру после запятой, отличную от нуля. Нормализованным представлением нуля является такое представление, при котором во всех разрядах находятся нули.

При использовании нормальной формы для части компьютеров характерно смещение оси порядков в область положительных значений. В этом случае арифметические действия производятся над порядками, не имеющими знака. В нормальной форме под значение порядка отводится 7 разрядов, один из них знаковый. Таким образом, значение порядка может лежать в интервале 2⁶≤Р≤2⁶-1, т.е. от -64 до 63.

Сместив порядок на 2⁶=64=40₁₆, мы получаем интервал возможных значений 0≤Р≤2⁷-1=127. Смещенный порядок на 40₁₆ называется характеристикой и вычисляется как Рx=P+40.

Если характеристика равна 40, то порядок равен 0; если характеристика меньше 40, то порядок отрицателен; если больше – то положителен.

ЗАДАЧИ

1.3.3. Представить в нормальной сетке Е числа 32001,5₁₀ и -32001,5₁₀

Представим числа в шестнадцатиричном коде 32001,5₁₀=7D01,8₁₆ и

- 32001,5₁₀. =-7D01,8₁₆

Затем найдем нормализованные мантиссы и характеристики.

m=7D01,8₁₆ m=0,7D018,

при этом характеристика становится равной Рx=40+4=44

Знак m Рx m

100 0100

0111 1101 0000 0001 1000 0000

447 D0180>0

m=-7D01,816 m=-0,7D018,

при этом характеристика становится равной Рx=40+4=44

Знак m Рx m

100 0100

0111 1101 0000 0001 1000 0000

С47 D0180<0

Контрольные вопросы:

1. Как осуществляется перевод чисел делением на основание новой системы.

2. Как пользуются при табличном методе перевода чисел?

3. Что понимают под форматом данных?

4. Как представляется число в формате с фиксированной точкой?

5. Как представляется число в формате с плавающей точкой?