Декартовий добуток множин

Нехай і – довільні множини.

Означення. Впорядкованою парою називається пара елементів , , взятих в певному порядку.

Дві впорядковані пари вважаються рівними, якщо рівні їх відповідні компоненти:

.

Означення. Декартовим добутком двох множин і називається множина всіх впорядкованих пар :

.

Якщо , то кажуть про декартовий квадрат множини :

Аналогічно можна ввести декартовий добуток трьох , чотирьох і т.д. множин. При скорочено пишуть і кажуть про -й декартовий степінь множини . Елементами є послідовності (набори, вектори, рядки) довжини .

За означенням покладають, що перший декартовий степінь будь-якої множини є сама множина , тобто .

Декартовий добуток має наступні властивості:

1) – некомутативність;

2) – дистрибутивність відносно ;

3) – дистрибутивність відносно ;

4) .

Приклад: Нехай , . Тоді

; .

2. Нехай R – множина всіх дійсних чисел. Тоді декартовий квадрат є просто множина всіх декартових координат на площині відносно заданих координатних осей (– множина точок площини). Якщо , то – одиничний квадрат на площині.

Лекція розроблена доцентом кафедри ВМ, к.т.н. Скубаком О.М.