Способи задання множин

1. Перелік елементів – найбільш природний спосіб задання множини, коли множина , яка складається з елементів , задається списком своїх елементів: , де порядок слідування елементів значення не має.

Наприклад: .

Вважається, що всі елементи множини різні.

2. За допомогою характеристичної властивості елементів – універсальний спосіб задання множини, коли властивості її елементів можуть бути описані виразом (елементи даної множини і тільки вони мають властивість ). Записують . Наприклад:

3. Аналітичний, за допомогою символів операцій над множинами та дужок (буде розглянуто нижче).

3. Відношення між множинами. Геометричне зображення множин

Означення. Множина називається підмножиною множини , якщо кожен елемент множини належить множині .

Позначення: () – « включається в » ( включає ), де – знак нестрогого включення.

.

Наприклад: , , – – підмножина .

Означення. Множини і називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто і .

і .

Якщо и , то називається власною, строгою чи істинною підмножиною . Позначення: , де – знак строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини і .

і називаються невласними підмножинами множини .

Для кожної множини існує множина, елементами якої є всі її підмножини.

Означення. Множина, елементами якої є всі підмножини множини і тільки вони, називається булеаном (або множиною підмножин) множини і позначається . Відносно елементів булеана множина є універсумом. (Тобто, універсальна множина – це множина, підмножинами якої є всі множини, що розглядаються,)

У разі скінченної підмножини , що складається з елементів, булеан містить елементів:

.

Приклад. Якщо , то . Перша й остання підмножини невласні, інші – власні.

Порожня множина має властивість: при будь-якому . Універсальна множина має властивість: при будь-якому .Множини і відношення між ними зручно задавати графічно за допомогою так званих діаграм Ейлера-Венна. Діаграми Ейлера-Венна є геометричним зображенням множин. Множина зображується замкненою кривою довільної форми (найчастіше – кругом). Точки, які лежать всередині замкненої кривої, можна розглядати як елементи відповідної множини.

Наприклад:

Універсум на діаграмах Ейлера-Венна зображується у вигляді прямокутника.

3. Основні операції над множинами

Існує ще один спосіб задання множин – за допомогою операцій над іншими множинами. На булеані визначаються наступні операції над множинами і .

Назва і позначення	Означення	Геометрична ілюстрація
Об'єднання
Переріз
Різниця
Доповнення
Симетрична різниця

Використовуючи операції ∩¸ ¸ \¸ можна виражати одні множини через інші. За умовчанням приймається пріоритет операцій: . Для зміни цього порядку у виразі використовують дужки.

Таким чином, множину можна задати виразом, в який входять множини, операції і, може бути, дужки. Такий спосіб завдання множини називається аналітичним.

4. Властивості операцій над множинами

Операції над множинами, як і операції над числами, мають певні властивості. Ці властивості виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного змісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму , тобто множинами з .

Теорема. Для будь-яких множин з булеану справедливі наступні тотожності (основні закони теорії множин):

1. – комутативність	1*. – комутативність
2. – асоціативність	2*. – асоціативність
3. – дистрибутивність відносно	3*. – дистрибутивність відносно
закони поглинання
4.	4*.
закони де Моргана
5.	5*.
6.
закони ідемпотентності
7.	7*.
властивості і
8.	8*.
9.	9*.
10. ,
11.
12.

Доведення (самостійно) всіх рівносильностей проводиться

1) за означенням рівності множин і за означеннями операцій над множинами.

2) за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

За допомогою основних властивостей операцій над множинами доводять рівності множин і спрощують вирази алгебри множин.