![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Перелік елементів – найбільш природний спосіб задання множини, коли множина , яка складається з елементів
, задається списком своїх елементів:
, де порядок слідування елементів значення не має.
Наприклад:
.
Вважається, що всі елементи множини різні.
2. За допомогою характеристичної властивості елементів – універсальний спосіб задання множини, коли властивості її елементів можуть бути описані виразом (елементи
даної множини і тільки вони мають властивість
). Записують
. Наприклад:
3. Аналітичний, за допомогою символів операцій над множинами та дужок (буде розглянуто нижче).
3. Відношення між множинами. Геометричне зображення множин
Означення. Множина називається підмножиною множини
, якщо кожен елемент множини
належить множині
.
Позначення: (
) – «
включається в
» (
включає
), де
– знак нестрогого включення.
.
Наприклад: ,
,
–
– підмножина
.
Означення. Множини і
називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто
і
.
і
.
Якщо и
, то
називається власною, строгою чи істинною підмножиною
. Позначення:
, де
– знак строгого включення.
Очевидно, що для будь-якої множини
і
.
і
називаються невласними підмножинами множини
.
Для кожної множини існує множина, елементами якої є всі її підмножини.
Означення. Множина, елементами якої є всі підмножини множини і тільки вони, називається булеаном (або множиною підмножин) множини
і позначається
. Відносно елементів булеана множина
є універсумом. (Тобто, універсальна множина – це множина, підмножинами якої є всі множини, що розглядаються,)
У разі скінченної підмножини , що складається з
елементів, булеан
містить
елементів:
.
Приклад. Якщо , то
. Перша й остання підмножини невласні, інші – власні.
Наприклад:
Універсум на діаграмах Ейлера-Венна зображується у вигляді прямокутника.
3. Основні операції над множинами
Існує ще один спосіб задання множин – за допомогою операцій над іншими множинами. На булеані визначаються наступні операції над множинами
і
.
Назва і позначення | Означення | Геометрична ілюстрація |
Об'єднання ![]() | ![]() | ![]() |
Переріз ![]() | ![]() | ![]() |
Різниця ![]() | ![]() | ![]() |
Доповнення
![]() | ![]() | ![]() |
Симетрична різниця
![]() | ![]() | ![]() |
Таким чином, множину можна задати виразом, в який входять множини, операції і, може бути, дужки. Такий спосіб завдання множини називається аналітичним.
4. Властивості операцій над множинами
Операції над множинами, як і операції над числами, мають певні властивості. Ці властивості виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного змісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму , тобто множинами з
.
Теорема. Для будь-яких множин з булеану
справедливі наступні тотожності (основні закони теорії множин):
1. ![]() ![]() | 1*. ![]() ![]() |
2. ![]() ![]() | 2*. ![]() ![]() |
3. ![]() ![]() ![]() | 3*. ![]() ![]() ![]() |
закони поглинання | |
4. ![]() | 4*. ![]() |
закони де Моргана | |
5. ![]() | 5*. ![]() |
6. ![]() | |
закони ідемпотентності | |
7. ![]() | 7*. ![]() |
властивості ![]() ![]() | |
8. ![]() ![]() | 8*. ![]() ![]() |
9. ![]() | 9*. ![]() |
10. ![]() ![]() | |
11. ![]() | |
12. ![]() |
Доведення (самостійно) всіх рівносильностей проводиться
1) за означенням рівності множин і за означеннями операцій над множинами.
2) за допомогою діаграм Ейлера-Венна.
За допомогою основних властивостей операцій над множинами доводять рівності множин і спрощують вирази алгебри множин.
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 7897 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!