Схема общей динамической системы

Для обоснования типовых математических схем элементов сложных информационных систем весьма плодотворным является использование понятия «общая динамическая система». Вводя это определение, следует иметь в виду, что сами элементы любой системы до определенного уровня рассмотрения также являются системами. В применении к элементам этот термин (система) будет далее иногда использоваться без прилагательного «сложная».

Итак, наиболее общей математической моделью элемента системы (объекта) является общая динамическая система (ОДС). ОДС описывается множеством величин:

− совокупностью входных воздействий на систему ;

− совокупностью воздействий внешней среды ;

− совокупностью внутренних параметров системы ;

− совокупностью выходных воздействий системы ;

В общем случае являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие. При описании ОДС задается также индексирующее множество моментов времени .

Входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры являются независимыми (экзогенными) переменными, изменяющимися во времени и определяемыми в векторном виде как:

Выходные воздействия, или реакции ОДС, являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид:

.

Процесс функционирования ОДС во времени в общем случае определяется оператором F _s, преобразующим экзогенные переменные в эндогенные:

(8.1)

где реализации (траектории) процессов на всем предшествующем интервале времени , , .

Совокупность зависимостей компонентов выходной реакции системы от времени называется выходной траекторией y(t). Она определяется законом функционирования ОДС. Закон функционирования (7.1) может быть задан в виде функции, функционала, оператора, логических условий, в табличной форме и т. п. Соотношение (8.1) является математическим описанием поведения объекта (элемента, системы) во времени, т. е. отражает его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

При описании и исследовании ОДС часто используется также понятие алгоритма A_s, под которым понимается конкретный способ получения выходных реакций с учетом входных воздействий x(t), воздействий внешней среды и возмущений собственных параметров h(t). Часто один и тот же закон функционирования может быть реализован различными способами, т. е. с помощью различных алгоритмов функционирования ОДС.

Во многих случаях закон функционирования системы удобно получить путем определения наиболее существенных динамических свойств системы, отображающих мгновенный «срез» системы. Эти свойства называются состояниям и для каждого конкретного момента времени определяются вектором:

.

Декартово произведение , элементами которого являются пары , называется фазовым пространством состояний системы. Главное преимущество введения пространства состояний для описания динамики поведения системы состоит в том, что во многих случаях состояние системы в любой момент времени полностью определяется начальным состоянием , а также реализациями входных воздействий, воздействий внешней среды и внутренними возмущениями, которые имеют место на ограниченном интервале . Тем самым возможно избавиться от учета предыстории, выходящей за пределы конечного интервала времени. Выходная реакция системы при этом является функцией только текущего состояния z(t)

(8.2)

Уравнения (8.2) образуют так называемую цепочку «вход-состояние-выход», позволяющую представить функционирование ОДС с помощью инерционного и безынерционного операторов общего вида (8.2),

Простейшим примером, иллюстрирующим удобство применения подобного подхода, является ситуация, когда выполняются необходимые условия дифференцируемости и изменение состояний, а также выходная реакция могут быть описаны уравнениями вида

.

(8.3)

Здесь обеспечивается описание изменения состояний на основе обыкновенного дифференциального уравнения, в котором требуется знание только текущих значений всех переменных без учета предыстории. Полезность выделения пространства состояний системы и разделение оператора (8.1) на два (инерционный и безынерционный) в (8.2) очевидна также из тех соображений, что во многих системах выдача выходных воздействий осуществляется не непрерывно, а в определенные моменты времени. Например, в моделях систем, определяемых (8.3), функция y(t) = f(z(t),t) часто реализует описание порогового устройства, выдающего сигнал каждый раз, когда фиксируется попадание процесса z(i) в некоторую область значений.

Таким образом, можно сказать, что ОДС определяется следующей совокупностью множеств и отображений:

Введенная математическая схема позволяет описать широкий класс элементов (систем), однако ее непосредственное использование весьма проблематично: слишком велика степень абстракции и обобщения. Поэтому в теории и практике разработки математических моделей, ориентированных на последующее использование при имитационном моделировании элементов сложных систем, первоначально использовались типовые математические схемы, реализующие более конкретные проблемно-ориентированные формы математического описания.

Конкретизация и типизация математических схем осуществляется на основе выделения некоторых признаков, наглядно представленных на рисунке 8.1.

Традиционным способом классификации математических схем является их разделение на детерминированные или стохастические; определяемые в непрерывном или в дискретном времени. Подобным образом были выделены: непрерывно-детерминированный подход (представитель – обыкновенные дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный подход (конечные автоматы, конечно-разностные уравнения); непрерывно-стохастический подход (схемы элементарных приборов обслуживания, стохастические дифференциальные уравнения); дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы, стохастические конечно-разностные уравнения).

Рисунок 8.1 – Классификация математических схем элементов сложных систем

Дальнейшее развитие методов математического описания систем, имеющих параллельный характер работы, привело к использованию специализированных сетевых математических схем (сети Петри, Е-сети). Кроме того, получил развитие так называемый комбинированный (обобщенный) подход, реализующий возможность использования гибридных математических схем (агрегаты, гибридные автоматы), которые могут воспроизводить перечисленные выше математические схемы как частные случаи. Комбинированный подход обеспечивает построение универсальных имитационных моделей, позволяющих описать широкий круг объектов с отображением их системного характера.