Основные принципы и этапы метода. Моделирование проблемы

Входе исследований в рамках МАИ обычно выполняется несколько этапов, которые тесно связаны с реализацией принципов идентичности и иерархической декомпозиции проблемы, дискриминации и сравнительного суждения, синтезирования глобальных приоритетов для выбора итоговых решений.

В базовом варианте МАИ на первом этапе осуществляется моделирование проблемы и образуется доминантная иерархия, формируемая начиная с вершины (глобальной цели – фокуса проблемы), через промежуточные уровни (критерии или факторы, от которых зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню (который обычно определяет перечень альтернатив, подлежащих выбору). Иерархия считается полной, если каждый элемент заданного уровня функционирует как критерий для всех элементов нижестоящего уровня.

После иерархического воспроизведения проблемы реализуется второй этап – сравнительного анализа элементов проблемы и установления локальных приоритетов для критериев и альтернатив в соответствии с принципом дискриминации и сравнительных суждений. Проводится опрос лиц принимающих решения или экспертов. Существенным является то, что в МАИ элементы проблемы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», «интенсивности») на общую для них характеристику. Установление важности элементов при парном сравнении есть отражение способности человека к высказыванию относительных (сравнительных) суждений притом, что он обычно затрудняется сразу оценить многоаспектную проблему в целом.

Пусть A ₁ ,…,A_n – множество п элементов некоторого уровня иерархии и ω ₁ ...,ω_n – абсолютные веса или интенсивности этих элементов, которые неизвестны заранее и которые следует найти. В рамках МАИ путем опроса ЛПР формируется матрица парных сравнений элементов на основе субъективных суждений, численно оцениваемых по определенной шкале. Матрица парных сравнений п элементов является квадратной и имеет вид

(5.1)

По результатам заполнения в ходе опроса матрица должна обладать свойством обратной симметричности , , .

На основе выраженных численно результатов парных сравнений потом решается задача нахождения весов (локальных приоритетов) ω ₁ ...,ω_n сравниваемых элементов иерархического описания проблемы.

Когда проблема представлена иерархически, матрица парных сравнений составляется для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели управления. Затем подобные матрицы строятся для сравнения альтернатив по отношению к каждому из критериев второго уровня. Любая такая матрица составляется путем заполнения таблицы, в которой надо указать в левом верхнем углу цель (критерий), по отношению к которой проводится сравнение, и перечислить сравниваемые критерии (или альтернативы) в верхней строке и левом столбце.

После формирования матриц парных суждений наступает третий этап окончательного определения локальных весов (элементов проблемы) и синтеза на этой основе глобальных приоритетов альтернатив, обеспечивающих получение осмысленных и согласованных решений в рамках решаемой проблемы многокритериального выбора.

Для полученной группы матриц парных сравнений сначала формируется набор локальных приоритетов, который получается в результате определения собственных векторов для каждой матрицы. Собственные векторы нормируются, что позволяет в итоге сформировать векторы локальных приоритетов. В ходе формирования локальных приоритетов необходимо выполнить также проверку согласованности полученных парных сравнений. Суть этих действий состоит в следующем.

В идеале при полной согласованности суждений элементы матрицы парных сравнений (5.1) имеют вид , , . т. е. они должны быть пропорциональны весам сравниваемых элементов. Такая матрица естественным образом обладает свойством обратной симметричности, т. е. , , .

Таким образом, полная согласованность парных сравнений в (5.1) означает, что элементы матрицы А удовлетворяют уравнению .

Реально получаемые матрицы сравнений при опросе ЛПР не всегда являются полностью согласованными и подобная структура элементов матрицы во многих случаях нарушается.

При определении локальных приоритетов на основе компонентов собственных векторов матриц в МАИ используются оценки на основе геометрического среднего. Определим геометрическое среднее элементов строк в случае идеальной согласованности элементов матрицы парных сравнений, представленной (5.1):

(5.2)

После нормировки вектора получаем, что его компоненты являются компонентами вектора приоритетов, т. е. пропорциональны искомым весам сравниваемых элементов проблемы

.

(5.3)

Умножив матрицу А на вектор , получим

(5.4)

Приведенные соотношения (5.2) – (5.4) означают, что в случае полной согласованности парных суждений для матрицы (5.1) проводимые вычисления восстанавливают истинные веса элементов по результатам парных сравнений, что позволяет оценить степень их важности в целом. При этом нормализованный вектор весов является собственным вектором матрицы парных сравнений.

Как уже отмечалось, получаемые на практике матрицы парных сравнений не являются согласованными. Поэтому, прежде чем использовать полученные локальные приоритеты, требуется определить степень согласованности высказанных суждений. Соотношения (5.2) – (5.4) определяют возможность анализа согласованности суждений для любой обратно симметричной матрицы. Как следует из (5.4), для полностью согласованной матрицы А величина п играет роль максимального собственного числа, соответствующего собственному вектору . В общем случае для любой обратно симметричной матрицы А' величина наибольшего собственного числа удовлетворяет неравенству , а равенство достигается только в случае идеально согласованной структуры элементов А' = А. Поэтому величина:

в МАИ используется в качестве индекса согласованности. Кроме того, вводится отношение согласованности:

,

где ИС_r – индекс согласованности, получаемый при усреднении множества данных для матриц парных сравнений различной размерности при случайном равновероятном (т. е. полностью не осмысленном) выбору количественных значений суждений из шкалы 1/10,1/9,..., 9,10, но с сохранением свойства обратной симметрии.

Таким образом, чтобы оценить степень согласованности любой реально получаемой в ходе опроса матрицы парных сравнений А' и выявить локальные приоритеты – веса сравниваемых элементов (критериев, альтернатив) требуется рассчитать вектор , , ИС, ОС, на основе следующих соотношений:

, ,

(5.5)

где – исследуемая матрица. Выражения (5.5), по сути, повторяют цепочку выражений (5.2) – (5.4), проводимых для согласованной матрицы А и с точки зрения решения задачи на собственные значения являются приближенными. Более точные результаты можно получить с использованием итерационных методов расчета максимального собственного числа и соответствующего ему собственного вектора. Если ОС выходит из заданного предела, то следует вернуться к предыдущим этапам структуризации и анализа проблемы в целом или ее отдельных составляющих. Для анализа пригодности результатов можно также провести расчет согласованности для всей иерархии в целом.

После того как, возможно, и не с первого раза получены достаточно согласованные оценки на различных уровнях и соответствующие им локальные приоритеты, в МАИ осуществляется синтез глобальных приоритетов выбора. Для этого по каждой i -й альтернативе вычисляется величина

(5.6)

где – компоненты вектора локальных приоритетов для i -й альтернативы третьего (нижнего) уровня относительно k -го критерия верхнего уровня; – компоненты вектора локальных приоритетов критериев второго уровня; п ₂, п ₃ – количество элементов, выделенных в иерархии на втором и третьем уровнях.

При проведении оценок следует иметь в виду все сравниваемые элементы, чтобы сравнения были релевантными. Нетрудно убедиться в том, что для проведения обоснованных сравнений не следует рассматривать более чем 7...9 элементов. В таком случае маленькая погрешность в каждой относительной величине меняет ее не очень значительно. В некоторых задачах при формировании оценок парных суждений следует учитывать совокупное мнение группы независимых участников опроса. В этом случае каждая оценка а_у формируется как геометрическое среднее мнений участников:

где – мнения k участников опроса. Такое преобразование данных обеспечивает обратно симметричный характер матрицы парных сравнений.

В настоящее время известно большое количество модификаций классического МАИ, которые ориентированы на учет различных ситуаций, связанных с формированием иерархического представления проблемы, использование других способов сравнения альтернатив и расчета локальных приоритетов, например, метод сравнения объектов относительно стандартов и метод сравнения объектов копированием. Данные методы позволяют учитывать ситуации последовательного добавления новых альтернатив (что не всегда позволяет их сравнивать попарно), а также идентичности некоторых альтернатив по отношению к одному или нескольким критериям (альтернативы являются копиями друг друга). Кроме того, при решении многих практических задач требуется использовать модификации МАИ, реализующие определение приоритетов для иерархий с различным числом и составом альтернатив под критериями.