Оценки математического ожидания и дисперсии

С понятием параметров распределения мы познакомились в теории вероятностей. Например, в нормальном законе распределения, задаваемом функцией плотности вероятности

параметрами служат а – математическое ожидание и а – среднее квадратическое отклонение. В распределении Пуассона параметром является число а = пр.

Определение. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данных выборки (х₁, х₂, х₃,..., х_k; п₁, п₂, п₃,..., п_k), т. е. некоторую функцию этих величин.

Здесь х₁, х₂, х₃,..., х_k – значения признака, п₁, п₂, п₃,..., п_k –соответствующие частоты. Статистическая оценка является случайной величиной.

Обозначим через θ – оцениваемый параметр, а через θ * – его статистическую оценку. Величину | θ *– θ | называют точностью оценки. Чем меньше | θ *– θ |, тем лучше, точнее определен неизвестный параметр.

Чтобы оценка θ * имела практическое значение, она не должна содержать систематической ошибки и вместе с тем иметь возможно меньшую дисперсию. Кроме того, при увеличении объема выборки вероятность сколь угодно малых отклонений | θ *– θ | должна быть близка к 1.

Сформулируем следующие определения.

1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание М (θ *) равно оцениваемому параметру θ, т. е.

М (θ *) = θ, (1)

и смещенной, если

М (θ *) ≠ θ, (2)

2. Оценка θ* называется состоятельной, если при любом δ > 0

(3)

Равенство (3) читается так: оценка θ * сходится по вероятности к θ.

3. Оценка θ* называется эффективной, если при заданном п она имеет наименьшую дисперсию.

Теорема 1. Выборочная средняя Х_В является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания.

Доказательство. Пусть выборка репрезентативна, т. е.. все элементы генеральной совокупности имеют одинаковую возможность попасть в выборку. Значения признака х₁, х₂, х₃,...,х_n можно принять за независимые случайные величины Х₁, Х₂, Х₃,...,Х_n с одинаковыми распределениями и числовыми характеристиками, в том числе с равными математическими ожиданиями, равными а,

Так как каждая из величин Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_п имеет распределение, совпадающее с распределением генеральной совокупности, то М (Х) = а. Поэтому

Далее, на основании закона больших чисел имеем

откуда следует, что – состоятельная оценка М (Х).

Используя правило исследования на экстремум, можно доказать, что является и эффективной оценкой М (Х).

В качестве оценки дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности D (Х) принимается исправленная дисперсия.

Теорема 2. Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии D (Х).