Представление сверточных кодов с помощью многочленов

В отличие от боковых кодов, каждый из которых описывается единственным порождающим многочленом, сверточный код требует для своего описания несколько порождающих многочленов, число которых определяется количеством входных и n выходных символов, передаваемых за каждый такт в канал связи. Представим последовательность информационных символов, поступающих на вход кодера, в виде многочлена (полинома)

(8.78)

где – символ оператора задержки на тактов работы сдвигающего регистра; – информационные двоичные символы.

Многочлены, описывающие n последовательностей кодовых символов, поступающих на вход коммутатора кодера и далее в канал связи,

, (8.79)

где = 0; 1 – двоичные кодовые символы на j -м входе коммутатора кодера.

В силу линейности сверточного кода

, (8.80)

где (8.81)

j -й порождающий многочлен сверточного кода; = 0; 1 – его двоичные коэффициенты (8.77), равные 1, если i -я ячейка (i = 0,..., –1) сдвигающего регистра через схему суммирования связана с j -м входом коммутатора кодера, и равные нулю в противном случае.

Например, для кодера систематического сверточного кода (рис. 8.26, а) порождающие многочлены будут

;

,

а для кодера несистематического сверточного кода (рис. 8.26, б)

;

.

Порождающие многочлены могут быть объединены в матрицу размера , называемую порождающей матрицей из многочленов. Например, порождающие матрицы для кодеров (рис. 8.26), в соответствии записываются в виде

и

.

Строка в матрице соответствует одному из символов входной последовательности (в данном случае =1 – число информационных символов, поступающих за 1 такт на вход кодера), а число многочленов в строке равно числу схем суммирования по модулю 2. При > 1 некоторые порождающие многочлены могут равняться нулю.

Так, для схемы кодера (рис. 8.27) при скорости , выходной код описывается шестью порождающими полиномами, задаваемыми шестью наборами связей между двумя регистрами и тремя сумматорами.

Связь между входными символами и выходными последовательностями может быть представлена в следующей матричной форме:

.

В данном случае порождающая матрица многочленов (полиномов) имеет вид

.

Рассмотрим, в качестве примера, для схемы кодера (рис. 8.28), как кодируется последовательность информационных символов 101.

Этой последовательности соответствует многочлен

.

Номер такта	Номер выхода кодера	Содержимое выхода кодера

Тогда на выходе первого сумматора по модулю 2 кодера (рис. 8.28) последовательность кодовых символов будет 11011, ей соответствует многочлен

.

На выходе второго сумматора по модулю 2 этого кодера последовательность кодовых символов будет 10001, а ей соответствует многочлен

.

В итоге на выходе кодера будет сформирована последовательность выходных символов за 5 тактов нахождения входной последовательности 101 в трехразрядном регистре: