Промежутки монотонности и экстремумы функций

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке из области определения, если для любых из условия следует неравенство (соответственно ).

На рисунке 8 а) функция возрастает в интервалах , , убывает в .

Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.

Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция дифференцируема в промежутке и () для всех , то возрастает (соответственно убывает) в промежутке .

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки этой окрестности (соответственно ). Значение функции называется минимумом (соответственно максимумом).

На рис. 8 а) – точка максимума, – точка минимума.

Под экстремумом функции (локальным) понимается либо минимум функции, либо её максимум.

Определение Точка из области определения функции , называется стационарной точкой, если дифференцируема в и .

Определение Точка из области определения функции , называется критической точкой, если не дифференцируема в .

На рис.8 б) – критическая, а на рис. 8 в) точка – стационарная.

Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции , то она является стационарной ил критической точкой этой функции.

На рис. 8 б) критическая точка является точкой экстремума, а на рис. в стационарная точка не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая или стационарная точка является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. непрерывна в точке и дифференцируема в Пусть - стационарная или критическая точка функции . Если в некоторой окрестности точки слева от производная принимает один знак, а справа от - противоположный, то - точка экстремума. При этом если слева , справа , то - точка максимума, в противном случае - точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки производная имеет постоянный знак, то не является точкой экстремума. Если к тому же непрерывна в , то функция монотонна в этой окрестности (рис. 8 в)).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть и существует . Тогда если , то - точка минимума. Если же , то - точка максимума.

Вторым достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.