Свойства линейной зависимости

Свойство 1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда .

Свойство 2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди векторов есть такой, который является линейной комбинацией остальных векторов.

Свойство 3. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Следствие 4.1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Утверждение 4.1. Если система линейно независима, но при добавлении к ней еще одного ненулевого вектора становиться линейно зависимой, то вектор линейно выражается через .

Определение 4.11. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой векторов, если при добавлении к ней еще одного ненулевого вектора она становится линейно зависимой.

4.8. Найти линейную комбинацию векторов:

1. ; ; ;

2. ; ; .

4.9. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми:

1. , ; 2. , ; 3. , , ; 4. , , ;

5. , , , ;

6. , , , .

4.10. Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

4.11. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

4.12. Доказать, что если часть системы векторов, линейно зависима, то и вся система линейно зависима.