Линейная зависимость векторов

Определение 4.7. Совокупность векторов называется системой векторов.

Система векторов отличается от множества векторов тем, что:

1. все векторы пронумерованы,

2. среди них могут быть совпадающие.

Определение 4.8. Пусть дана система векторов . Любой вектор вида

, (4.1)

где , , называется линейной комбинацией векторов .

При наличии равенства (4.1) говорят, что

1) линейно выражается через ;

2) разлагается по векторам .

Пример 4.4. Найти линейную комбинацию векторов из .

, , , при , , .

Решение. По определению (4.1) .

Определение 4.9. Множество всех линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкой и обозначается .

Определение 4.10. Система векторов называется линейно независимой, если равенство

(4.2)

возможно только при всех , в противном случае она линейно зависима.