Принятие решений. Под результатом решения eij можно понимать оценку, соответствующую варианту Еi и условиям Fj и характеризующую экономический эффект (прибыль) или полезность

Система поддержки принятия решений, реализованная в программе «СтатЭксперт», предназначена для реализации окончательного принятия решений, когда уже определены цели и условия развития процессов и необходимо сделать выбор одного из некоторого конечного множества рассматриваемых вариантов: Е_i Î Е. Каждым вариантом Е_i (E₁, E₂, …, E_i,…, E_m) однозначно определяется некоторый результат e_i - выигрыш, полезность, надежность и др. Эти результаты должны допускать количественную оценку, и для их простоты можно отождествлять с соответствующими результатами, обозначая одним и тем же символом e_i. Обычно ищется вариант с экстремальным значением результата, т.е. max e_i или min e_i.

Под результатом решения e_ij можно понимать оценку, соответствующую варианту Е_i и условиям F_j и характеризующую экономический эффект (прибыль) или полезность решения. Семейство решений к примеру, можно описать некоторой матрицей, содержащей i вариантов при i = 1,…,n условий решений при j = 1,…,m.

Исходными данными при принятии решений выступает матрица решений, в которой каждому варианту (Е_i) поставлены в соответствие условия решений (F_j). В последней строке матрицы решений ("Вероятность") представлена вероятность реализации решений.

Пример 6.2. Пусть предприятие АВС решает вопрос: производить ли ему на имеющемся оборудовании 250 тыс. комплектующих деталей или покутить их на стороне по цене 370 руб./шт. (исходные данные для расчета себестоимости приведены в табл 14.13).

Приобретая деталь на стороне, предприятие сможет избежать переменных издержек в сумме 75 млн. руб. и снизить постоянные расходы на 10 млн. руб. Необходимо проанализировать ситуацию и выбрать наиболее выгодный для предприятия вариант ранения: а) изготавливать всю партию деталей самостоятельно; б) изготавливать самостоятельно максимально возможное гарантированное количество - 200 тыс.шт. деталей, а остальные -приобретать на стороне; в) приобретать все детали на стороне и использовать высвободившееся оборудование для производства других деталей, что может принести прибыль в размере 18 млн. руб.

Таблица 14.13. Основные затраты предприятия АВС

Показатели затрат	Сумма, млн. руб.
Прямые материалы на весь объем производства деталей	-40,0
Прямая зарплата	20,0
Переменные накладные расходы	15,0
Постоянные расходы	50,0
Итого	125,0

Решение: на принятие решения оказывают влияние следующие факторы.

1) Есть сомнения в том, что комплектующие для собственного производства будут поставлены в срок. В этом случае предприятие сможет произвести только 200 тыс.шт. деталей; за каждую недопоставленную деталь предприятие выплатит 1 тыс. руб. неустойки. Вероятность этого события (событие a ) составляет a = 0.3.

2) При определенном стечении обстоятельств партнер сможет обеспечить в срок поставку 125 тыс.шт. деталей. Как и в предыдущем случае, за каждую недопоставленную деталь предприятие выплатит 1 тыс. руб. неустойки. Вероятность этого события (событие b) составляет b = 0.2. В этих условиях возможно также приобретение небольшой партии изделий в 500 тыс.шт. по цене 600 руб./ шт. Постоянные расходы остаются на первоначальном уровне (50 млн.руб), а все переменные затраты уменьшаются пропорционально изменению объема, т.е. на 20%. Таким образом, общие затраты по данному варианту не зависят от вероятностных факторов и составляют:

50000 × 600 + 0,8 (40 +20 +15) ×10⁶ -30 +(50 +60) = 140 млн.руб.

Считая, что события a и b независимы, составим матрицу полезности (табл. 14.14).

Таблица 14.14. Матрица решений для предприятии АВС, млн-руб.

Варианты	Себестоимость продукции, млн. руб.
F1	F2	F3	F1
E1	-125	-160	-125	-160
E2	-140	-140	-140	-140
E3	-114.5	-114.5	-193.5	-193.25
Вероятность	0.56	0.24	0.14	0.06

В качестве элементов матрицы возьмем расчетные значения себестоимости варианта со знаком минус (чем ниже себестоимость, тем лучше вариант). В верхней строке таблицы приведено событие, которому соответствует расчет в столбце, а в нижней строке - оценка вероятности этого события. Так, запись “ ” соответствует событию НЕa и НЕb, которое в условиях задачи F₁ совершится с вероятностью (1-a)(1-b)=(1-0,3)(1-0,2)=0,56. Условие F₁ означает, что все комплектующие будут поставлены в срок и партнер сможет обеспечить в срок поставку готовых деталей.

Отметим, что при расчете себестоимости вариантов, связанных с событием a учитывается, что постоянные расходы останутся на прежнем уровне, что приведет к увеличению себестоимости единицы продукции. При расчете всех вариантов, связанных с неблагоприятными событиями, неустойка складывается с расчетной себестоимостью.

Критерии принятия решений. Всякое решение в условиях неполной информации - сознательно или неосознанно - принимается в соответствии с какой-либо оценочной функцией, выбор которой должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимаются решения. В настоящее время применяют следующие критерии принятия решений: минимаксный критерий, критерии Байеса-Лапласа, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лемана, критерий Гермейра и критерий произведений.

Эти критерии можно использовать поочередно, причем после вычисления их значений среди нескольких вариантов приходится все-таки волевым образом выделять некоторое окончательное решение, что позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабить влияние субъективного фактора

При минимаксном критерии используют оценочную функцию UMM, соответствующую позиции крайней осторожности:

Матрица решений ||e_ij|| дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов e_ir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты E_iO, в строках которых стоят наибольшие значения e_ir этого столбца

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия F_j ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Z_MM. Это свойство заставляет считать минимаксный критерии одним из фундаментальных.

Критерием Байеса-Лапласа учитывается каждое из возможных следствий. Если q_j - вероятность появления внешнего состояния F_j, то для данного критерия имеем следующую оценочную функцию Z_BL:

.

Исходная позиция ЛПР в этом случае оптимистичнее, чем в случае минимаксного критерия, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

Оценочная функция критерия Сэвиджа Zs имеет вид:

Величину можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии F_j вместо варианта E_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Можно интерпретировать a_ij и как потери (штрафы), возникающие в состоянии F_j при замене оптимального для нее варианта на вариант E_i. При интерпретации a_ij в качестве потерь величина e_ir представляет собой максимальные возможные (по всем внешним состояниям) потери в случае выбора варианта E_i. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта E_i. Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора в этом случае интерпретируется так: каждый элемент матрицы решений ||e_ij|| вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Разности a_ij образуют матрицу остатков ||a_ij||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir. Выбираются те варианты E_iO, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвицем предложен критерий, оценочная функция Z_HW которого находится где-то между точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма:

где с - весовой множитель, значение которого изменяется в интервале [0;1].

Правило выбора по критерию Гурвица формулируется следующим образом. Матрица ранений ||e_ij|| дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются те варианты E_iO, в строках которых стоят наибольшие элементы e_ir этого столбца Для c = 1 критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий, при с = 0 он превращается в критерий азартного игрока. Чаще всего c = 0.5 без возражений принимается в качестве некоторой средней точки зрения.

При критерии Ходжа-Лемана происходит одновременный учет свойств минимаксного критерия и критерия Байеса-Лапласа С помощью параметра n, значение которого изменяется в интервале [0,1], выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Если это доверие велико, то предпочтение отдается критерию Байеса-Лапласа, в противном случае - минимаксному критерию. Оценочная функция Z_HL этого критерия определяется:

Правило выбора соответствующее данному критерию, формулируется следующим образом. Матрица решений ||e_ij|| дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбираются те варианты решений E_iO, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца. При n = 1 критерий Хoджа-Лемана переходит в критерии Байеса-Лапласа, а для n=0 - в минимаксный критерий.

В качестве оценочной функции критерия Гермейра выступает функция Z_G:

Данный критерий ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения всех e_ij. Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие e_ij < 0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин e_ij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования (e_ij - а) при соответствующим образом подобранном а < 0 (заметим, что оптимальный вариант решения зависит от а).

Правило выбора согласно критерию Гермейра при этом формулируется следующим образом. Матрица решений ||e_ij|| дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния F_j. Вбираются те варианты E_iO, в строках которых находится наибольшее значение e_ir этого столбца. В некотором отношении критерий Гермейра обобщает минимаксный критерий. В случае равномерного распределения q_j = 1/n, j = 1, …, n, они становятся идентичными.

При критерии произведений, ориентированном на величины выигрышей, т.е. на положительные значения e_ij, оценочная функцию Z_p имеет следующий вид:

Правило выбора в этом случае формулируется следующим образом. Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты E_iO, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца. Критерий произведений адаптирован в первую очередь на случаи, когда все е_ij > 0. Если указанное условие нарушается, то следует выполнить некоторый сдвиг (e_ij+a) с некоторой константой a>| |. Разумеется, результат применения критерия существенно зависит от этой константы а. На практике в качестве значения а обычно используют величину | |+1. Если же константа а не имеет содержательного смысла, то к таким проблемам критерий произведений не применим.

Более подробно практическое применение этих критериев в процессах принятия решений рассмотрено в разделе 3 настоящей книги.