Статистический критерий

Статистическим критерием (или просто критерием) называют специально подобранную случайную величину K, точное или приближённое распределение которой известно, для проверки H₀.

Для каждого конкретного значения H₀ величина K может обозначаться разными буквами. Например, U или, Z если она распределена нормально, F и – по закону Фишера – Снедекора, T – по закону Стьюдента, – по закону «хи квадрат» и т. д.

После выбора определённого критерия множество всех его возможных значений пересекаются на два непересекающихся подмножества:

- критическая область – совокупность значений критерия, при котором H₀ отвергают;

- область принятия гипотезы (область допустимых значений) – совокупность значений критерия, при котором H₀ принимают.

Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотез, называют критическими точками K_кр.

Различают следующие критические области:

- правосторонняя, которая определяется неравенством K > K_кр, где

K_кр > 0;

- левосторонняя, определяемая неравенством K < K_кр, где K_кр < 0;

- двусторонняя, определяемая двойным неравенством K_кр1 < K < K_кр2, где K_кр2 > K_кр1. Если критические точки K_кр1 и K_кр2 симметричны относительно 0, неравенство можно представить как - K_кр < K < K_кр или , где K_кр > 0.

Отыскание критической области сводится к нахождению соответствующих критических точек. Для этого задаются уровни значимости .

Критическую точку правосторонней области находят исходя из требования, чтобы при условии справедливости H₀ вероятность того, что критерий K примет значение, большее K_кр была равна принимаемому уровню значимости:

. (5.36)

Критическую точку левосторонней области находят исходя из требования, чтобы при условии справедливости H₀ вероятность того, что критерий K примет значение, меньшее K_кр была равна принимаемому уровню значимости:

. (5.36)

Критические точки двусторонней критической области находят исходя из требования, чтобы при справедливости H₀ сумма вероятностей того, что критерий примет значение, меньшее K_кр1 или большее K_кр2, была равна принятому уровню значимости:

(5.38)

или

,

если K_кр1 и K_кр2 симметричны относительно 0.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую одному из требований (5.36) – (5.38) в зависимости от вида области.

Критическая область тем лучше, чем меньше и . Но при заданном объёме выборки уменьшать одновременно и невозможно, т. к., если уменьшать , будет возрастать. Поэтому и выбирают для каждой конкретной задачи в зависимости от «тяжести последствий» ошибок. Единственный способ одновременного уменьшения и состоит в увеличении объёма выборки.

Когда критическая точка найдена, по выборочным данным вычисляют наблюдаемое значение критерия K_набл. Если K_набл принадлежит критической области – H₀ отвергают, если K_набл принадлежит области принятия гипотез – H₀ не отвергают

- для левосторонней области, если

;

- для правосторонней, если

;

- для двусторонней, если

.