Точечные оценки

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом.

К точечным оценкам предъявляются следующие требования:

- несмещённости;

- эффективности;

- состоятельности.

Пусть – статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объёма n найдена оценка . Извлечём из генеральной совокупности другую выборку объёма n и вычислим. . Повторяя опыт многократно, получим числа , ,…, , которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , ,…, – как её вложенные значения.

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки, т. е.

.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, т. е.

.

Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объёме выборки n имет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т. е.

,

где – бесконечно малая величина.

Оценка генеральной средней выборочной средней выполняется по формуле (5.4) и является немещённой и состоятельной, если выборка повторная и несмещённой, если выборка бесповторная.

В качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную выборочную дисперсию S².

(5.24)

или

,

которая удовлетворяет требованию несмещённости. Очевидно, при достаточно больших значениях n D_в и S² различаются мало. На практике S² вычисляется, если n < 30.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используется исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S или выборочное среднее квадратическое отклонение .

. (5.25)

Все рассмотренные оценки (формулы (5.4), (5.11), (5.24), (5.25)) являются точечными.

Точечные оценки используются прежде всего тогда, когда с их помощью выполняются другие расчёты. При этом точечные оценки не несут информации о точности конкретной оценки. При малых объёмах выборки точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемого параметра.