Б. Элементы теории множеств, операции над множествами, кванторы

В математике широко используется понятие «множество». Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» равнозначащими выражениями: совокупность, собрание и т.п.

Множество состоит из элементов

Примеры:

N – множество натуральных чисел.

Z – множество целых чисел.

R – множество всех точек числовой оси (вещественная числовая ось).

- некоторое полное множество

Подмножество – часть элементов некоторого множества.

В математике введены символы для обозначения понятий, используемых при рассуждениях.

- объединение множеств

- множество элементов, входящих либо в А, либо в В.

В

А

Пример:

;

Иногда вместо пишут +: А+В

- пересечение множеств.

- множество элементов, входящих одновременно и в А, и в В.

В

А

Например, для рассмотренных нами множеств А и В

Иногда, вместо пишут : А В

\ - разность множеств.

- множество элементо в А, не входящих в В.

А

В

Например, для рассмотренных нами множеств А и В

Иногда вместо пишут -: А-В

- симметричная разность

По определению .

А

В

Для рассмотренных нами множеств А и В

- дополнение к множеству

U

А

- знак вхождения одного множества в другое.

Пример:

- подмножество множества .

- подмножество числовой оси.

- знак включения одним множеством другого.

включает в себя множество .

числовая ось включает в себя множество целых чисел.

- знак принадлежности элемента множеству.

, ,

- отрицание принадлежности элемента множеству.

Примеры:

- число -7 не принадлежит множеству натуральных чисел.

- число -1.3 не принадлежит множеству целых чисел.

- число 4.1 не является целым числом.

Ø – пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента.

Пример:

- множество действительных решений этого квадратного уравнения – пусто.

Кванторы

- для всякого

- найдется

- следует

~ (тильда) – эквивалентно

- тождественно

Множества на числовой оси

- открытый интервал

~

- граничные точки интервала - полуоткрытый слева интервал

Аналогично определяется полуоткрытый справа интервал

- замкнутый интервал

]

Эпсилон окрестность точки “а”

~

Элементы математической логики

p, q –Булевы переменные (принимающие два значения):

Мы будем рассматривать функции от Булевых переменных, причем эти функции так же будут принимать два значения 0;1.

Некоторые виды функций:

p	p

– отрицание

- логическое следствие (p q)

- эквивалентность (p=q), либо (p↔q)

- конъюнкция p q (.)

- дизъюнкция p q (+)

Таблица истинности

p	q	p q	p q	p q	p q

Используя исходные таблицы истинности, мы сможем строить таблицы истинности для более сложных выражений.