![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для справок приводим таблицу неопределенных интегралов. Интегрирование, основное на применение таблицы основных интегралов, основных свойств неопределенного ∫ - ла, а также простейших тождественных преобразований подынтегральной функции, принято называть непосредственным интегрированием.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Пример 1. Найти интегралы:
а) б)
в)
Решение.
а) Применяя табличные интегралы, получим:
.
б) Преобразуем подынтегральную функцию и представим заданный интеграл в виде суммы двух других, каждый из которых табличный:
в) Чтобы привести данный интеграл к табличному, выразим стоящую в числителе единицу как sin2x + cos2x и разделим почленно на знаменатель:
Если данный интеграл не является табличным и не может быть найден способом непосредственно интегрирования, то введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к табличному. В этом сущность так называемого метода подстановки.
Пример 2. Найти интегралы, применяя соответствующие подставки:
а) б)
в)
.
Решение.
а) Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим t = x2 + 1. Дифференцируя, получим dt = 2xdx, xdx = . Производя замену, получаем:
б) Пусть t = arcsin x, тогда ; следовательно,
.
в) Так как cosxdx есть дифференциал функции sin x, то данный интеграл приводится к табличному так:
Пусть u и – дифференцируемые функции от переменной х. Определим дифференциал произведения этих функций:
d (u ) = ud
+
du, откуда ud
= d (u
) –
du.
Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим:
(1)
Эта формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Ей пользуются в тех случаях, когда есть более простой интеграл по отношению к данному интегралу
.
Пример 3. Найти интегралы:
Решение.
а) Пусть u = х и dσ = e2xdx, тогда du = dx и σ = .
Произвольную потоянную С можно учесть в окончательном ответе.
Применяя (1), получаем:
б) Пусть u = arc sin x, dσ = dx, тогда
+
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
I. II.
, где m – целое число, m > 1;
III. где
, т.е. квадратный трехчлен х2 + рх + q не имеет действительных корней;
IV. где n – целое число, n > 1; т.е. квадратный трехчлен х2 + рх + q не имеет действительных корней.
Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа. Перечисленные дроби соответственно называют соответственно дробями I, II, III и IV типов.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей I, II, III типов:
I. .
II. .
III. (здесь в знаменателе исходного интеграла выделили полный квадрат и свели к табличному интегралу).
IV. - сводится к табличному либо путем различных преобразований подинтегральной функции, либо используя рекуррентную формулу.
Пример 4. Найти интегралы:
Решение.
а) Данная дробь – правильная, ее знаменатель разложен на простейшие множители. Множителю (х – 1)3 соответствует сумма трех простейших дробей а множителю (х + 3) – простейшая дробь
Итак, имеем:
Освободимся от знаменателя:
х2 + 1 = А(х + 3) + В(х – 1)2(х + 3) + С(х – 1)2(х+3)+ D(x – 1)3 (*)
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3.
Полагая в (*) х = 1, получаем, что 2 = 4А или А=
Полагая в (*) х = -3, получаем, что 10 = - 64 D или D = .
Сравним теперь коэффициенты при старших степенях х в левой и правой частях (*), т.е. при х3. В левой части равенства (*) нет члена с х3, т.е. коэффициент при х3 равен 0. В правой части коэффициент при х3 равен С + D. Итак, С + D = 0, откуда C =
Остается определить коэффициент В. Для этого надо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х2) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая х = 0, получаем из равенства (*): 1 = 3А – 3В + 3С – D или т.е.
Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид:
Таким образом, получим:
б) Разложим знаменатель дроби на множители: х5 – х2 = х2(х3 - 1) = х2(х – 1) (х2 + х + 1).
Тогда
Освобождаемся от знаменателя:
1 = А(х – 1)(х2 +х + 1) + В(х – 1)(х2 + х + 1)х + С х2(х2 + х + + 1) + (Dx + E) x2 (x – 1).
Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. Из последнего равенства при х = 0 имеем 1 = -А, т.е. А = -1; при х = 1, имеем 1 = 3С, т.е. С =
Перепишем предыдущее равенство в виде:
1 = А(х3 – 1) + В(х4 – х) + С(х4 + х3 + х2) + Dx4 +Ex3 –Dx3 – Ex2.
Сравнивая коэффициенты при х4, х3, х2, получаем систему уравнений
Итак,
Следовательно,
в) Так как х2 + 1 есть двукратный множитель, то Освобождаясь от знаменателя, получаем: х3- 2х = Ах + В + (Сх + D) (х2+ 1). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
х3: 1 = С,
х2: 0 = D,
х: -2 = А + С, А = -3,
х0: 0 = В + D, В = 0.
Следовательно,
г) Выделим целую часть данной неправильной дроби, поделив числитель на знаменатель:
Следовательно,
Разложим теперь правильную дробь на простейшие дроби:
Освободимся от знаменателей:
8х3 – 16х + 1 = А(х + 2)2+ В(х – 2)(х + 2)2+С(х – 2)2+D(х + 2)(х – 2)2.
Принимая в последнем равенстве:
х = 2: 33 = 42 А, откуда А=
х = -2: -31 = 16 С, откуда С= -
х =0: 1 = 4А – 8В + 4С + 8D, откуда –16В + 16D = 1.
Для того, чтобы найти В и D, сравнив коэффициенты при х3, получим еще одно уравнение: 8 = В + D. Решим получившуюся систему уравнений:
Находим, что
Итак,
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 242 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!